पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ganit NCERT Solutions in Hindi Medium Exercise 13.6

प्रश्न 1. एक बेलनाकार बर्तन के आधार की परिधि 132 सेमी और उसकी ऊँचाई 25 सेमी है। इस बर्तन में कितने लीटर पानी आ सकता है? (1000 सेमी³ = 1 लीटर)

Solution

दिया है, आधार की परिधि = 132 सेमी

∴ 2𝜋r = 132 सेमी

प्रश्न 2. लकड़ी के एक बेलनाकार पाइप का आन्तरिक व्यास 24 सेमी है और बाहरी व्यास 28 सेमी है। इस पाइप की लम्बाई 35 सेमी है। इस पाइप का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए, यदि 1 सेमी³ लकड़ी का द्रव्यमान 0.6 ग्राम है।

Solution

दिया है, आन्तरिक व्यास = 24 सेमी

आन्तरिक त्रिज्या (r₁) = 12 सेमी

बाहरी व्यास = 28 सेमी

बाहरी त्रिज्या (r₂) = 14 सेमी

h = 35 सेमी

1 सेमी³ लकड़ी का द्रव्यमान = 0.6 ग्राम

5720 सेमी³ लकड़ी का द्रव्यमान = 0.6 × 5720 ग्राम = 3432 ग्राम

= 3432/1000 किग्रा (∵ 1 किग्रा = 1000 ग्राम)

= 3.432 किग्रा

प्रश्न 3. एक सॉफ्ट ड्रिंक (soft drink ) दो प्रकार के पैको में उपलब्ध है
(i) लम्बाई 5 सेमी और चौड़ाई 4 सेमी वाले एक आयताकार आधार का टिन का डिब्बा जिसकी ऊँचाई 15 सेमी है और
(ii) व्यास 7 सेमी वाले वृत्तीय आधार और 10 सेमी ऊँचाई वाला एक प्लास्टिक का बेलनाकार डिब्बा।
किस डिब्बे की धारिता अधिक है और कितनी अधिक है?

Solution

(i) दिया है, h = 15 सेमी

l = 5 सेमी, b = 4 सेमी तथा h = 15 सेमी

घनाभाकार डिब्बे का आयतन = l × b × h

= 5 × 4 × 15

= 300 सेमी³ ...(i)

(ii) दिया है, व्यास = 7 सेमी

त्रिज्या, r = 7/2 सेमी

ऊँचाई, h = 10 सेमी

तब, प्लास्टिक के बेलनाकार डिब्बे का आयतन

= 77 × 5 = 385 सेमी³ ...(ii)

समी (i) तथा (ii) से, हम देखते हैं कि प्लास्टिक के बेलनाकार डिब्बे की धारिता, जो 385 – 300 = 85 सेमी³ है, आयताकार आधार के टिन के डिब्बे से अधिक है।

प्रश्न 4. यदि एक बेलन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल 94.2 सेमी² है और उसकी ऊँचाई 5 सेमी है, तो ज्ञात कीजिए
(i) आधार की त्रिज्या ।
(ii) बेलन का आयतन । (𝜋 = 3. 14 लीजिए)

Solution

दिया है, एक बेलन पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 94.2 सेमी² तथा h = 5 सेमी

∴ 2𝜋rh = 94.2

⇒ 2 × 3.14 × r × 5 = 94.2

(i) अतः आधार की त्रिज्या, r = 3 सेमी

(ii) बेलन का आयतन = 𝜋r²h

= 3.14 × (3)² × 5

= 3.14 × 9 × 5

=141.3 सेमी³

प्रश्न 5. 10 मी गहरे एक बेलनाकार बर्तन के आन्तरिक वक्रपृष्ठ को पेन्ट कराने का व्यय ₹2200 है। यदि पेन्ट कराने की दर ₹20 प्रति मी² है, तो ज्ञात कीजिए
(i) बर्तन का आन्तरिक वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल ।
(ii) आधार की त्रिज्या ।
(iii) बर्तन की धारिता ।

Solution

दिया है, आन्तरिक वक्रपृष्ठ पर पेन्ट कराने का व्यय = ₹2200

प्रति मी² पेन्ट कराने का व्यय = ₹20

∵ आन्तरिक पार्श्वीय पृष्ठ क्षेत्रफल = आन्तरिक वक्रपृष्ठ पर पेन्ट कराने का व्यय/प्रति मी² पेन्ट कराने का व्यय

(i) बर्तन का आन्तरिक वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल = 110 मी²

(ii) अतः आधार की त्रिज्या 1.75 मी है।

(iii) बर्तन की धारिता = बर्तन का आयतन

प्रश्न 6. ऊँचाई 1 मी वाले एक बेलनाकार बर्तन की धारिता 15.4 लीटर है। इसको बनाने के लिए कितने वर्ग मीटर धातु की शीट की आवश्यकता होगी?

Solution

एक बन्द बेलनाकार बर्तन की धारिता = 15.4 लीटर

= 15.4 × 1000 सेमी (∵1 लीटर = 1000 सेमी³)

∴ 𝜋r²h = 15400 सेमी³

⇒ 𝜋r² × 100 = 15400

⇒ r² = 7 × 7

∴ r = 7 सेमी

बन्द बेलनाकार बर्तन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 𝜋r(r + h)

प्रश्न 7. सीसे की एक पेन्सिल (lead pencil) लकड़ी के एक बेलन के अभ्यन्तर में ग्रेफाइट (graphite) से बने ठोस बेलन को डालकर बनाई गई है। पेन्सिल का व्यास 7 मिमी है और ग्रेफाइट का व्यास 1 मिमी है। यदि पेन्सिल की लम्बाई 14 सेमी है, तो लकड़ी का आयतन और ग्रेफाइट का आयतन ज्ञात कीजिए ।

Solution

ग्रेफाइट बेलन का व्यास = 1 मिमी = 1/10 सेमी

⇒ त्रिज्या, r = 1/20 सेमी

ग्रेफाइट की लम्बाई, h = 14 सेमी

अतः लकड़ी का आयतन = पेन्सिल का आयतन - ग्रेफाइट का आयतन

= (5.39 - 0.11) सेमी³

= 5.28 सेमी³

प्रश्न 8. एक अस्पताल (hospital) के एक रोगी को प्रतिदिन 7 सेमी व्यास वाले एक बेलनाकार कटोरे में सूप (soup) दिया जाता है। यदि यह कटोरा सूप 4 सेमी ऊँचाई तक भरा जाता है, तो इस अस्पताल में 250 रोगियों के लिए प्रतिदिन कितना सूप तैयार किया जाता है ?

Solution

दिया है, व्यास = 7 सेमी

त्रिज्या, r = 7/2 सेमी

h = 4 सेमी

बेलनाकार कटोरे की धारिता = बेलन का आयतन

= 𝜋r²h

अस्पताल में 250 रोगियों के लिए प्रतिदिन सूप तैयार करने का आयतन

= 154 × 250

= 38500 सेमी³

= 338500/1000 सेमी³ (∵ 1 सेमी = 1/1000 लीटर)

= 38.5 लीटर