संख्या पद्धति Ganit NCERT Solutions in Hindi Medium Exercise 1.3

प्रश्न 1. निम्नलिखित भिन्नों को दशमलव रूप में लिखिए और बताइए कि प्रत्येक का दशमलव प्रसार किस प्रकार का है:

(i) 36/100

(ii) 1/11

(iv) 3/13

(v) 2/11

(vi) 329/400

Solution

(ii) 1 को 11 से विभाजित करने पर,

(iii) दिया है,

33 को 8 से विभाजित करने पर,

(iv) दिया है, 3/13

3 को 13 से विभाजित करने पर,

(v) दिया है, 2/11

2 को 11 से विभाजित करने पर,

(vi) दिया है, 329/400

329 को 400 से विभाजित करने पर,

प्रश्न 2. आप जानते हैं कि 1/7 = 0.142857 हैं | वास्तव में, लंबा भाग दिए बिना क्या आप यह बता सकते हैं कि 2/7, 3/7, 4/7, 5/7 तथा 6/7 के दशमलव प्रसार क्या है और यदि हाँ, तो कैसे ?

[संकेत: 1/7 का मान ज्ञात करते समय शेषफलों का अध्ययन सावधानी से कीजिए|]

Solution

दिया है,

 

प्रश्न 3. निम्नलिखित को p/q के रूप में व्यक्त कीजिए, जहाँ p और q पूर्णांक हैं तथा q ≠ 0 है:

(i) 0.6 

(ii) 0.47 

(iii) 0.001

Solution

(i) माना x = 0.6 = 0.666... ---(i)

समी (i) को 10 से गुना करने पर,

10x = 6.666... ---(ii)

समी (ii) में से समी (i) को घटाने पर,

(10x - x) = (6.666...) - (0.666...)

⇒ 9x = 6

⇒ x = 6/9

⇒ x = 2/3

(ii) माना x = 0.47 = 0.4777... ---(i)

समी (i) को 10 से गुना करने पर,

10x = 4.777... ---(ii)

समी (ii) को 10 से गुना करने पर,

100x = 47.777... ---(iii)

समी (iii) में से समी (ii) को घटाने पर,

(100x - 10x) = (47.777...) - (4.777...)

⇒ 90x = 43

⇒ x = 43/90

(iii) माना x = 0.001 = 0.0010010001... ---(i)

समी (i) को 1000 से गुना करने पर,

1000x = 1.001001... ---(ii)

समी (ii) में से समी (i) को घटाने पर,

(1000x - x) = (1.001001...) - (0.001001...)

⇒ 999x = 1

⇒ x = 1/999

प्रश्न 4. 0.99999..... को p/q के रूप में व्यक्त कीजिए। क्या आप अपने उत्तर से आश्चर्यचकित है? अपने अध्यापक और कक्षा के सहोगियों के साथ उत्तर की सार्थकता पर चर्चा कीजिए |

Solution

माना,

x = 0.9999... ---(i)

समी (i) को 10 से गुना करने पर,

10x = 9.9999... ---(ii)

समी (ii) में से समी (i) को घटाने पर,

(10x - x) = (9.9999...) - (0.9999...)

⇒ 9x = 9

⇒ x = 9/9

⇒ x = 1

प्रश्न 5. 1/7 के दशमलव प्रसार में अंकों के पुनरावृति खंड में अंकों की अधिकतम संख्या क्या हो सकती है ? अपने उत्तर की जाँच करने के लिए विभाजन क्रिया कीजिए |

Solution

प्रश्न 6. p/q (q ≠ 0) के रूप की परिमेय संख्याओं के अनेक उदहारण लीजिए, जहाँ p और q पूर्णांक हैं, जिनका 1 के अतिरिक्त अन्य कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है और जिसका सांत दशमलव निरूपण (प्रसार) है | क्या आप यह अनुमान लगा सकते हैं कि १ को कौन-सा गुण अवश्य संतुष्ट करना चाहिए ?

Solution

माना विभिन्न प्रकार की परिमेय संख्याएँ इस प्रकार हैं,

सभी स्थितियों में हम प्राकृतिक संख्या के बारे में सोचते हैं जिसे जब हम उसके हर से गुणा करते हैं, तो वह 10 या 10 की घात में संख्या देता है।

उपरोक्त से, हम प्राप्त करते हैं कि उपरोक्त संख्याओं का दशमलव प्रसार सांत है। इसके अनुदिश हम देखते हैं कि उपरोक्त संख्याओं का हर 2^m × 5ⁿ के रूप में है, जहाँ m तथा n प्राकृतिक संख्याएँ हैं। इस प्रकार, परिमेय संख्याओं का दशमलव निरूपण एक सांत दशमलव के रूप में प्रदर्शित कर सकते हैं।

प्रश्न 7. ऐसी तीन संख्याएँ लिखिए जिनके दशमलव प्रसार अनवसानी अनावर्ती हों |

Solution

प्रश्न 8. परिमेय संख्याओं 5/7 और 9/11 के बीच की तीन अलग-अलग अपरिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए |

Solution

अपरिमेय संख्याओं को ज्ञात करने के लिए, सर्वप्रथम हम 5 को 7 से तथा 9 को 11 से विभाजित करेंगे।

∴ अभीष्ट संख्याएँ हैं

0.73073007300073000073...

0.7650765007650007650000....

0.80800800080000...

प्रश्न 9. बताइए कि निम्नलिखित संख्याओं में कौन-कौन संख्याएँ परिमेय और कौन-कौन संख्याएँ अपरिमेय हैं |

(i) √23

(ii) √225  = 15

(iii) 0.3796

(iv) 7.478778 ....

(v) 1.101001000100001…..

Solution

(i) अपरिमेय संख्या हैं | 

(ii) परिमेय संख्या है |

(iii) परिमेय सख्या है |

(iv) अपरिमेय संख्या हैं |

(v) अपरिमेय संख्या हैं |