संख्या पद्धति Ganit NCERT Solutions in Hindi Medium Exercise 1.2

प्रश्न 1. नीचे दिए गए कथन सत्य हैं या असत्य हैं? कारण के साथ अपने उत्तर दीजिए।

(i) प्रत्येक अपरिमेय संख्या एक वास्तविक संख्या होती है।

(ii) संख्या रेखा का प्रत्येक बिन्दु √m के रूप का होता है, जहाँ m एक प्राकृत संख्या है।

(i) सत्य, प्रत्येक अपरिमेय संख्या एक वास्तविक संख्या होती है।

कारण: क्योंकि वास्तविक संख्याओं में अपरिमेय संख्याएँ भी होती है |

(ii) असत्य, संख्या रेखा का प्रत्येक बिन्दु √m के रूप का होता है, जहाँ m एक प्राकृत संख्या है।

कारण: संख्या रेखा पर दोनों ऋणात्मक एवं धनात्मक संख्याएँ होती है, परन्तु प्रत्येक बिंदु पर एक वर्गमूल संख्या हो यह संभव नहीं है |

(iii) असत्य, प्रत्येक वास्तविक संख्या एक अपरिमेय संख्या होती है।

कारण: क्योंकि वास्तविक संख्याओं के समूह में परिमेय सा संख्याएँ एवं अपरिमेय संख्याएँ दोनों होती हैं | केवल अपरिमेय संख्या नहीं होती हैं |

प्रश्न 2. क्या सभी धनात्मक पूर्णांकों के वर्गमूल अपरिमेय होते हैं? यदि नहीं, तो एक ऐसी संख्या के वर्गमूल का उदाहरण दीजिए जो एक परिमेय संख्या है।

Solution

सभी धनात्मक पूर्णांकों के वर्गमूल अपरिमेय नहीं होते हैं,

हम धनात्मक पूर्णांक 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, और 9 का उदाहरण लेते है |

√1 = 1 (परिमेय)

√2 = √2 (अपरिमेय)

√3 = √3 (अपरिमेय)

√4 = 2 (परिमेय)

√5 = √5 (अपरिमेय)

√6 = √6 (अपरिमेय)

√7 = √7 (अपरिमेय)

√8 = √8 (अपरिमेय)

√9 = 3 (परिमेय)

उपरोक्त उदाहरण में हम देखते हैं कि 1, 4 और 9 की वर्गमूल क्रमश: 1, 2, और 3 है जो परिमेय संख्या है |

प्रश्न 3. दिखाइए कि संख्या रेखा पर √5​ को किस प्रकार निरूपित किया जा सकता है।

Solution

OA = 1 इकाई,

AB = 1 इकाई, 

समकोण ΔAOB में, पाइथोगोरस प्रमेय से,

OB² = OA² + AB²

⇒ OB² = 1² + 1²

⇒ OB² = 2

⇒ ​OB = √2

अब समकोण ΔBOC में, पाइथोगोरस प्रमेय से,

OC² = OB² + BC²

⇒ OC² = (√2)² + 1² 

⇒ OC² = 2 + 1 = 3 

⇒ OC = √3 

अब समकोण ΔCOD में, पाइथोगोरस प्रमेय से,

OD² = OC² + DC²

⇒ OD² = (√3)² + 1² 

⇒ OD² = 3 + 1 = 4 

⇒ OD = √4 = 2 

अब समकोण ΔDOE में, पाइथोगोरस प्रमेय से,

OE² = OD² + DE²

⇒ OE² = (2)² + 1² 

⇒ OE² = 4 + 1 = 5 

⇒ OE = √5

अब O को केंद्र और OE को त्रिज्या मानकर एक चाप खींचेगे जो संख्या रेखा को OE' पर प्रतिच्छेद करता है जहाँ OE = OE' = √5 है |

प्रश्न 4. कक्षा के लिए क्रियाकलाप (वर्गमूल सर्पिल की रचना ) कीजिए । हल कागज की एक बड़ी शीट लीजिए और नीचे दी गई विधि से 'वर्गमूल सर्पिल' (square root spiral) की रचना कीजिए। 

Solution

सबसे पहले एक बिन्दु 0 लीजिए और एकक लम्बाई का रेखाखण्ड ( line segment) OP खींचिए । एक लम्बाई वाले OP₁ पर लम्ब रेखाखण्ड P₁P₂ खींचिए। अब OP₂ पर लम्ब रेखाखण्ड P₂P₃ खींचिए, तब OP₃ पर लम्ब रेखाखण्ड P₃P₄ खींचिए ।

इस प्रक्रिया को जारी रखते हुए OP_n-1 पर एकक लम्बाई वाला लम्ब रेखाखण्ड खींचकर आप रेखाखण्ड P_n-1P_n प्राप्त कर सकते सकते हैं। इस प्रकार आप बिन्दु O, P₁, P₂, P₃, ..., P_n,... प्राप्त कर लेंगे और उन्हें मिलाकर √2, √3, √4, ... को दर्शाने वाला एक सुन्दर सर्पिल प्राप्त कर लेंगे।