NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 4 दो चरों वाले रैखिक समीकरण 4.3 Hindi Medium

Class 9 Maths Chapter 4 Linear Equations in Two Variables Exercise 4.3 NCERT Solutions in Hindi Medium

दो चरों वाले रैखिक समीकरण Ganit NCERT Solutions in Hindi Medium Exercise 4.3

प्रश्न 1. दो चरों वाले निम्नलिखित रैखिक समीकरणों में से प्रत्येक का आलेख खींचिए :

(i) x + y = 4

(ii) x – y = 2

(iii) y = 3x

(iv) 3 = 2x + y

Solution

(i) x + y = 4

⇒ y = 4 – x

x का मान क्रमश: 0 तथा 4 रखने पर y का मान क्रमश: 4 और 0 प्राप्त होता है जिसकी सारणी निम्न है |

x	0	4
y	4	0
(x, y)	A(0, 4)	B(4, 0)

अतः सारणी से दोनों बिंदुओं को अंकित करके आलेख खींचते हैं तथा उन्हें एक रेखा द्वारा मिलाते हैं |

(ii)  x – y = 2

⇒ x = 2 + y

समीकरण में x का मान 0 और 2 रखने पर y का मान क्रमश: -2 और 0 प्राप्त होता है जिसकी सारणी निम्न है:

x	0	2
y	-2	0
(x, y)	A(0, -2)	B(2, 0)

अतः सारणी से दोनों बिंदुओं को अंकित करके आलेख खींचते हैं तथा उन्हें एक रेखा द्वारा मिलाते हैं |

(iii)  y = 3x

समीकरण में x का मान 0, 1 और -1 रखने पर क्रमश: y का मान 0, 3 और -3 प्राप्त होता है:

x	0	1	-1
y	0	3	-3
(x, y)	O(0, 0)	A(1, 3)	B(-1, -3)

अतः सारणी से तीनों बिंदुओं को अंकित करके आलेख खींचते हैं तथा उन्हें एक रेखा द्वारा मिलाते हैं |

(iv)  3 = 2x + y

⇒ y = 3 – 2x

समीकरण में x का मान 0, 1 और -1 रखने पर y का मान क्रमश: 3, 1 और 5 प्राप्त होता है जिसकी सारणी निम्न है:

x	0	1	-1
y	3	1	5
(x, y)	A(0, 3)	B(1, 1)	C(-1, 5)

अतः सारणी से तीनों बिंदुओं को अंकित करके आलेख खींचते हैं तथा उन्हें एक रेखा द्वारा मिलाते हैं |

प्रश्न 2. बिंदु (2, 14) से होकर जाने वाली दो रेखाओं के समीकरण लिखिए | इस प्रकार की और कितनी रेखाएँ हो सकती है , और क्यों ?

Solution

यहाँ बिंदु (2, 14) एक रेखीय समीकरण का हल है | यहाँ x = 2 और y = 14 है|

अत: इस मान को संतुष्ट करने वाले दो समीकरण निम्न है :

x + y = 16 और x – y = -12

इस प्रकार की अनंत रेखाए हो सकती है क्योंकि ये रेखाएँ एक ही बिंदु (2, 14) से गुजरेंगी |

प्रश्न 3. यदि बिंदु (3, 4) समीकरण 3y = ax + 7 के आलेख पर स्थित है, तो a का मान ज्ञात कीजिए |

Solution

यदि बिंदु (3, 4) आलेख पर स्थित है, तब ये समीकरण 3y = ax + 7 को संतुष्ट करेगा |

बिंदु (3, 4) में x = 3 और y = 4 है |

समीकरण 3y = ax + 7 में x और y का मान रखने पर,

3(4) = a(3) +7

⇒ 12 = 3a + 7

⇒ 3a = 12 – 7

⇒ 3a = 5

⇒ a = 5/3

प्रश्न 4. एक नगर में टैक्सी का किराया निम्नलिखित है: पहले किलोमीटर का किराया 8 रु है और उसके बाद की दूरी के लिए प्रति किलोमीटर का किराया 5 रु है। यदि तय की गई दूरी x किलोमीटर हो, और कुल किराया y रु हो, तो इसका एक रैखिक समीकरण लिखिए और उसका आलेख खींचिए।

Solution

तय की गई दुरी = x km

कुल किराया = ₹y

प्रश्नानुसार,

पहले किलोमीटर का किराया + 5(तय की गई दुरी - 1) = y

8 + 5(x - 1) = y

⇒ 8 + 5x - 5 = y

⇒ 3 + 5x = y

⇒ 5x – y + 3 = 0

समीकरण में x का मान 0, -1 तथा 1 रखने पर y का मान क्रमश: 3, -2 और 8 प्राप्त होता है |

x	0	2
y	-2	0
(x, y)	A(0, -2)	B(2, 0)

अब, बिंदुओं A(0, 3) तथा B(1, 8) को एक आलेख कागज़ पर आलेखित करते हैं तथा इन्हें मिलाते हैं तत्पश्चात एक रेखा AB प्राप्त होती है |

प्रश्न 5. निम्नलिखित आलेखों में से प्रत्येक के लिए दिए गए विकल्पों से सही समीकरण का चयन कीजिए: 

आकृति 4. 6 के लिए	आकृति 4.7 के लिए
(i) y = x (ii) x + y = 0 (iii) y = 2x (iv) 2 + 3y = 7x	(i) y = x + 2 (ii) y = x – 2 (iii) y = –x + 2 (iv) x + 2y = 6

Solution

आकृति fig 4.6 में, हम देखते हैं कि बिन्दु (-1, 1) तथा (1 - 1) समीकरण x + y = 0 से होकर गुजरते हैं।

∵ (1, 1) पर, x + y = -1 + 1 = 0

तथा (1, 1) पर, x + y = 1 - 1 = 0

आकृति fig 4.7 में, हम देखते हैं कि बिन्दु (-1, 3), (0, 2) तथा (2, 0) समीकरण x + y = 2 से होकर गुजरते हैं।

∵ (-1, 3) पर, x + y = -1 + (3) = 2

(0, 2) पर, x + y = 0 + 2 = 2

तथा (2, 0) पर, x + y = 2 + 0 = 2

प्रश्न 6. एक अचर बल लगाने पर एक पिंड द्वारा किया गया कार्य पिंड द्वारा तय की गई दूरी के अनुक्रमानुपाती होता है। इस कथन को दो चरों वाले एक समीकरण के रूप में व्यक्त कीजिए और अचर बल 5 मात्रक लेकर इसका आलेख खींचिए। यदि पिंड द्वारा तय की गई दूरी

(i) 2 मात्रक

(ii) 0 मात्रक

हो, तो आलेख से किया हुआ कार्य ज्ञात कीजिए।

Solution

माना किया गया कार्य = y

पिंड द्वारा विस्थापन = x मीटर

अचर बल = 5 इकाई

किया गया कार्य = बल × विस्थापन

W = F × s

इसलिए, y = 5x

(i) जब तय दुरी 2 मात्रक है तब

x = 2 रखने पर

अत: y = 5x

⇒ y = 5(2)

⇒ y = 10

किया गया कार्य 10 मात्रक

(ii) जब तय की गई दुरी 0 मात्रक है तब

x = 0 रखने पर

⇒ y = 5(0)

⇒ y = 0

किया गया कार्य 0 मात्रक

आलेख के लिए x का मान 0, 1 और 2 रखने पर y का मान क्रमश: 0, 5 और 10 प्राप्त होता है |

x	0	1	2
y	0	5	10
(x, y)	O(0, 0)	A(1, 5)	B(2, 10)

अब, बिन्दुओं O(0, 0), A(1, 5) तथा B (2, 10) को आलेख कागज पर आलेखित करते हैं तथा एक रेखा AB प्राप्त करने के लिए इन्हें मिलाते हैं।

(i) बिन्दु B(2, 10) से, OY के समान्तर एक रेखा खींचते हैं जो x-अक्ष को (2, 0) पर प्रतिच्छेद करती है तथा x-अक्ष के समान्तर एक रेखा खींचते हैं जो OY को बिन्दु C(0, 10) पर प्रतिच्छेद करती है।

∴ जब पिण्ड द्वारा 2 इकाई की दूरी तय की जाती है, तब किया गया कार्य = 10 इकाई

(ii) स्पष्ट रूप से, जब x = 0, तब y = 0, अतः जब पिण्ड द्वारा कार्य किया जाता है, तब किया गया कार्य = 0 इकाई

प्रश्न 7. एक विद्यालय की कक्षा IX की छात्राएं यामिनी और फातिमा ने मिलकर भूकंप पीडि़त व्यक्तियों की सहायता के लिए प्रधानमंत्री राहत कोष में 100 रु अंशदान दिया। एक रैखिक समीकरण लिखिए जो इन आंकड़ों को संतुष्ट करती हो। (आप उनका अंशदान x रु और y रु मान सकते हैं)। इस समीकरण का आलेख खींचिए।

Solution

माना यामिनी द्वारा योगदान = x रु

और फातिमा द्वारा योगदान = y रु

दोनों के द्वारा दिया गया अंशदान (x + y) = 100 रु

x	0	2
y	-2	0
(x, y)	A(0, -2)	B(2, 0)

यहाँ, हम बिंदुओं B(0, 100) तथा A(100, 0) को आलेख कागज़  आलेखित करते हैं तथा एक रेखा AB को निरूपित करने के लिए इन बिंदुओं को मिलाते हैं |

प्रश्न 8. अमरीका और कनाडा जैसे देशों में तापमान फारेनहाइट में मापा जाता है, जबकि भारत जैसे देशों में तापमान सेल्सियस में मापा जाता है। यहाँ फारेनहाइट को सेल्सियस में रूपांतरित करने वाला एक रैखिक समीकरण दिया गया है:

(i) सेल्सियस को x-अक्ष और फारेनहाइट को y-अक्ष मानकर ऊपर दिए गए रैखिक समीकरण का आलेख खींचिए।

(ii) यदि तापमान 30°C है, तो फारेनहाइट में तापमान क्या होगा?

(iii) यदि तापमान 95°F है, तो सेल्सियस में तापमान क्या होगा?

(iv) यदि तापमान 0°C है, तो फारेनहाइट में तापमान क्या होगा? और यदि तापमान 0°F है, तो सेल्सियस में तापमान क्या होगा?

(v) क्या ऐसा भी कोई तापमान है जो फारेनहाइट और सेल्सियस दोनों के लिए संख्यात्मकत: समान है? यदि हाँ, तो उसे ज्ञात कीजिए।

Solution

(i) दिया है, फ़ारेनहाइट तथा सेल्सियस में रैखिक समीकरण,

⇒ 5F - 9C = 160 ...(i)

यहाँ, हम निम्न सारणी पर विचार करेंगे

यहाँ पर हम बिंदुओं A(0, 32), B(-160/9, 0) तथा C(-40, -40) को आलेखित कागज़ पर आलेखित करते हैं तथा एक रेखा AB को निरूपित करने के लिए इन बिंदुओं को मिलाते हैं |

(ii) यदि तापमान 30°C है अर्थात C = 30°C

तब सेमी (i) से,

∴ फ़ारेनहाइट में तापमान = 86°F

(iii) यदि तापमान 95°F है अर्थात F = 95°F

तब सेमी (i) से,

5×95 - 9C = 160

⇒ 9C = 475 - 160

⇒ 9C = 315

⇒ C = 35°C

∴ सेल्सियस में तापमान = 35°C

(iv) यदि तापमान 0°C है अर्थात C = 0

तब सेमी (i) से,

∴ फ़ारेनहाइट में तापमान = 32°F

यदि तापमान 0°F है अर्थात F = 0

तब सेमी (i) से,

5×0 - 9C = 160

∴ सेल्सियस में तापमान = -17.8°C

(v) हाँ, यदि हम दोनों तापमान को बराबर लेते हैं अर्थात C = F

अब सेमी (i) से,

⇒ 5F = 9F + 160

⇒ -4F = 160

⇒ F = -40°

∴ F = C = -40°