NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 10 वृत्त 10.2 Hindi Medium

Class 10 Maths Chapter 10 Circles Exercise 10.2 NCERT Solutions in Hindi Medium

वृत्त Ganit NCERT Solutions in Hindi Medium Exercise 10.2

प्रश्न 1. एक बिंदु Q से एक वृत्त पर स्पर्श रेखा की लंबाई 24 सेमी तथा Q की केंद्र से दूरी 25 सेमी है | वृत्त की त्रिज्या है :

(A) 7 सेमी

(B) 12 सेमी

(C) 15 सेमी

(D) 24.5 सेमी

Solution

त्रिज्या (OP) = ?

OQ = 25 सेमी, PQ = 25 सेमी 

चूँकि OP ⊥ PQ है, पाइथागोरस प्रमेय से,

OQ² = OP² + PQ²

⇒ 25²​ = ​ OP² + 24²

⇒ OP² = 625 - 576

⇒ OP² = 49 

⇒ ​OP = √49 = 7 cm 

प्रश्न 2. आकृति 10.11 में, यदि TP केंद्र O वाले किसी वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ इस प्रकार है की ∠POQ = 110°, तो ∠PTQ बराबर है :

(A) 60°

(B) 70°

(C) 80°

(D) 90°

Solution

(B) 70^o 

हल : ∠POQ + ∠PTQ = 180°

⇒ 110° + ∠PTQ = 180°

⇒ ∠PTQ = 180° - 110°

⇒ 70^०

प्रश्न 3. यदि एक बिन्दु P से O केंद्र वाले किसी वृत्त पर PA, PB स्पर्श रेखाएँ 80° के कोण पर झुकी हों, तो ∠POA बराबर है:

(A) 50° 

(B) 60° 

(C) 70° 

(D) 80° 

Solution

(A) 50°

बिंदु P से दो स्पर्श रेखाएँ PA और PB खींची |

दिया है :

∠APB = 80°

इसलिए, ∠APO = 80°/2 = 40°

​स्पर्श बिंदु पर ∠A = 90°

त्रिभुज AOP में, 

⇒ ∠A + ∠APO + ∠POA = 180°

⇒ 90°+ 40° + ∠POA = 180°

⇒ ∠POA = 180° - 130°

⇒ ∠POA = 50°

प्रश्न 4. सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के किसी व्यास के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ समांतर होती है |

Solution

दिया है : O केंद्र वाले वृत्त की दो स्पर्श रेखाएँ LM तथा PQ हैं जो वृत्त को B तथा A पर क्रमश: स्पर्श करती है | 

सिद्ध करना है : LM || PQ 

प्रमाण: OB ⊥ LM (स्पर्श बिंदु को केंद्र से मिलाने वाली रेखा स्पर्श बिंदु पर लंब होती है)

अत: ∠MBO = 90° ...(i)

इसी प्रकार, OA ⊥ PQ

अत: ∠QAO = 90° ...(ii)

समीकरण (i) तथा (ii) जोड़ने पर 

∠MBO + ∠QAO = 90° + 90°

⇒ ∠MBO + ∠QAO = 180°

चूँकि एक ही ओर से अंत:आसन्न कोण संपूरक हैं, इसलिए 

LM || PQ

प्रश्न 5. सिद्ध कीजिए की स्पर्श बिन्दु से स्पर्श रेखा पर खींचा गया लंब वृत्त के केंद्र से होकर जाता है|

Solution

वृत्त के बिंदु Q से स्पर्शी MN खींचते हैं | एक लंब रेखा PQ रेखा MQN पर खींची |

वृत्त पर कोई बिंदु R लिया | PR तथा RQ को मिलाया | 

वृत्तखंड प्रमेय द्वारा,

∠MQP = ∠PRQ = 90°

हम जानते हैं,कि कोई जीवा का कोण बनाती है, जब जीवा वृत्त का व्यास होगी | अतः लंब सदैव होकर जाता  है |

प्रश्न 6. एक बिन्दु A से जो एक वृत्त के केंद्र से 5 सेमी दूरी पर है, वृत्त पर स्पर्श रेखा की लंबाई 4 सेमी है | वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए |

Solution

बिंदु A से केंद्र की दुरी (OA) = 5 सेमी

स्पर्श रेखा AM की लंबाई = 4 सेमी

वृत्त की त्रिज्या OM = ? 

समकोण त्रिभुज AOM में, पाइथागोरस प्रमेय से

OA² = OM² + AM²

⇒ 5² = OM² + 4²

⇒ 5² - 4² = OM²

⇒ 25 - 16 = OM²

⇒ OM² = 9

⇒ OM = √9 = 3 सेमी 

प्रश्न 7. दो सकेंद्रिय वृत्तों की त्रिज्याएँ 5 सेमी तथा 3 सेमी है | बड़े वृत्त की उस जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती हो |

Solution

दो संकेंद्री वृत्त जिसका केंद्र O है और बड़े वृत्त की जीवा AB है जो छोटे वृत्त को बिंदु D पर प्रतिच्छेद करती है |

त्रिज्याएँ क्रमश: BO = 5 सेमी और OD = 3 सेमी है |

OD ⊥ AB है | (चूँकि जीवा को केंद्र से मिलाने वाली रेखाखण्ड जीवा पर लंब होती है |)

अत: समकोण त्रिभुज BOD में, पाइथागोरस प्रमेय से,

OB² = OD² + BD²

⇒ 5² = 3² + BD² 

⇒ 5² - 3² = BD²

⇒ 25 - 9 = BD²

⇒ BD² = 16

⇒ BD = √16 = 4 cm

अत: AB = 2 × BD = 2 × 4 = 8 सेमी

जीवा की लंबाई 8 सेमी है |

प्रश्न 8. एक वृत्त के परिगत एक चतुर्भज ABCD खींचा गया है (देखिए आकृति) | सिद्ध कीजिए : AB + CD = AD + BC.

Solution

दिया है : ABCD एक O केंद्र वाले वृत्त के परिगत बना चतुर्भुज है | रेखाएँ AB, BC, CD और AD क्रमश: बिंदु P, Q, R और S पर स्पर्श करती हैं |

सिद्ध करना है : AB + CD = AD + BC

प्रमाण : P और S स्पर्श बिंदु हैं |

अत: AP = AS ...(i) प्रमेय 10.2 से

(बाह्य बिंदु से खिंची गई स्पर्श रेखाएँ समान लंबाई की होती है |)

इसीप्रकार,

BP = BQ ...(ii)

CR = CQ ...(iii)

और DR = DS ...(iv)

समी० (i), (ii), (iii) और (iv) जोड़ने पर

AP + BP + CR + DR = AS + DS + BQ + CQ

AB + CD = AD + BC

प्रश्न 9. आकृति में XY तथा X'Y', O केंद्र वाले किसी वृत्त पर दो समांतर स्पर्श रेखाएँ हैं और स्पर्श बिन्दु C पर स्पर्श रेखा AB, XY को A तथा X'Y' को B पर प्रतिच्छेद करती है | सिद्ध कीजिए की ∠AOB = 90° है |

Solution

दिया है: XY तथा X'Y', O केंद्र वाले किसी वृत्त पर दो समांतर स्पर्श रेखाएँ हैं और स्पर्श बिन्दु C पर स्पर्श रेखा AB, XY को A तथा X'Y' को B पर प्रतिच्छेद करती है |

सिद्ध करना है : ∠AOB = 90° 

प्रमाण: 

∆AOP और ∆AOC में

PA = CA (भुजा) प्रमेय 10.2 से

 ∠APO = ∠ACO 90° प्रत्येक

AO = AO उभयनिष्ठ कर्ण

RHS सर्वांगसमता नियम से

∆AOP ≅ ∆AOC

इसलिए, ∠PAO = ∠CAO ...(i) CPCT से

इसीप्रकार, ∆BOQ ≅ ∆BOC

इसलिए, ∠QBO = ∠CBO ...(ii) CPCT से

अब XY || X'Y' दिया है |

इसलिए, ∠PAC + ∠QBC = 180° (तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंत:कोणों का योग)

⇒ (∠PAO + ∠CAO) + (∠QBO + ∠CBO) = 180°

⇒ (∠CAO + ∠CAO) + (∠CBO + ∠CBO) = 180° (समी (i) तथा (ii) के प्रयोग से)

⇒ 2 ∠CAO + 2 ∠CBO = 180°

⇒ 2 (∠CAO + ∠CBO) = 180°

⇒ ∠CAO + ∠CBO) = 180°/2

⇒ ∠CAO + ∠CBO = 90° ...(iii)

अब त्रिभुज AOB में,

∠AOB + ∠CAO + ∠CBO = 180°

⇒ ∠AOB + 90° = 180°

⇒ ∠AOB = 180° - 90°

⇒ ∠AOB = 90°

प्रश्न 10. सिद्ध कीजिए कि किसी बाह्य बिन्दु से किसी वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण स्पर्श बिन्दुओं को मिलाने वाले रेखाखंड द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण का संपूरक होता है |

Solution

O केंद्र वाले वृत्त की की बाह्य बिंदु P से खिंची गई स्पर्श रेखाओं QP तथा RP है |

सिद्ध करना है: ∠QOR + ∠QPR = 180°

प्रमाण: OQ ⊥ QP और OR ⊥ RP (चूँकि स्पर्श रेखा से केंद्र को मिलाने वाली रेखाखंड लंब होती है |)

अत: ∠OQP = 90° ...(i)

और ∠ORP = 90° ...(ii)

चूँकि APBO एक चतुर्भुज है इसलिए,

∠OQP + ∠QOR + ∠ORP + ∠QPR = 360°

⇒ 90° + ∠QOR + 90° + ∠QPR = 360°

⇒ 180° + ∠QOR + ∠QPR = 360°

⇒ ∠QOR + ∠QPR = 360° - 180°

⇒ ∠QOR + ∠QPR = 180°

प्रश्न 11. सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के परिगत समान्तर चतुर्भुज समचतुर्भुज होता है |

Solution

दिया है : ABCD एक O केंद्र वाले वृत्त के परिगत बना समांतर चतुर्भुज है | रेखाएँ AB, BC, CD और AD क्रमश: बिंदु M, N, O और P पर स्पर्श करती हैं |

सिद्ध करना है : ABCD एक समचतुर्भुज है |

प्रमाण : चूँकि ABCD एक समांतर चतुर्भुज है इसलिए

AB = CD ...(i) (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजा)

इसीप्रकार, BC = AD ...(ii)

अब, M और P स्पर्श बिंदु हैं |

अत: AM = AP ...(iii) प्रमेय 10.2 से

(बाह्य बिंदु से खिंची गई स्पर्श रेखाएँ समान लंबाई की होती है |)

इसीप्रकार,

BM = BN ...(iv)

CR = CN ...(v)

और DR = DP ...(vi)

समी० (iii), (iv), (v) और (vi) जोड़ने पर 

AP + BM + CO + DO = AP + DS + BN + CN

⇒ AB + CD = AD + BC 

⇒ AB + AB = AD + AD समी० (i) तथा (ii) से

⇒ 2 AB = 2 AD

⇒ AB = AD ...(vii)

समीकरण (i), (ii) और (vii) से

AB = BC = CD = AD

अत: ABCD एक समचतुर्भुज है |

प्रश्न 12. 4cm त्रिज्या वाले एक वृत्त के परिगत एक त्रिभुज ABC इस प्रकार खींचा गया है की रेखाखंड BD और DC (जिनमें स्पर्श बिन्दु D द्वारा BC विभाजित है) की लंबाई क्रमशः 8 cm और 6 cm हैं (देखिए आकृति 10.14) | भुजाएँ AB और AC ज्ञात कीजिए |

Solution

दिया है, CD = 6 सेमी, BD = 8 सेमी और त्रिज्या 4 सेमी 

OC, OA तथा OB को मिलाया |

हम जानते हैं कि, बाह्य बिंदु से खींची गई स्पर्शियों की लंबाइयाँ समान होती हैं| 

प्रयोग करने पर,

∴ CD = CF = 6 सेमी और BD = BE = 8 सेमी

माना, AF = AE = x सेमी

ΔOCB में, त्रिभुज का क्षेत्रफल,

ΔOCA में, त्रिभुज का क्षेत्रफल,

ΔOBA में, त्रिभुज का क्षेत्रफल,

अब त्रिभुज का परिमाप,

हीरोन सूत्र का प्रयोग करने पर,

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,

48x (14 + x) = 4² (14 + x)²

⇒ 3x = 14 + x

⇒ 2x = 14

⇒ x = 7

∴ AC की लम्बाई = 6 + x = 6 + 7 = 13 सेमी

AB की लम्बाई = 8 + x = 8 + 7 = 15 सेमी

प्रश्न 13. सिद्ध कीजिए की वृत्त के परिगत बनी चतुर्भुज की आमने - सामने की भुजाएँ केंद्र पर संपूरक कोण अंतरित करती हैं |

Solution

दिया गया है: माना ABCD चतुर्भुज O केंद्र वाले वृत्त की परिधि पर बना है | वृत्त चतुर्भुज को बिंदु EFG तथा H पर स्पर्श करता है |

सिद्ध करना है: ∠AOB + ∠COD = 180°

और ∠AOD + ∠BOC = 180°

रचना: OH, OE, OF तथा OG को मिलाया | 

उपपति: चूँकि बाह्य बिंदु द्वारा वृत्त पर खींची गयी स्पर्श रेखाएँ वृत्त के केंद्र पर समान कोण आंतरिक करती हैं |

∴ ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4, ∠5 = ∠6, ∠7 = ∠8 ...(i)

हम जानते हैं कि, बिंदु O पर बनाने वाले कोणों का योग 360° है | 

∴ ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 + ∠6 + ∠7 + ∠8 = 360°

⇒ 2(∠2 + ∠3 + ∠6 + ∠7) = 360°

और 2(∠1 + ∠8 + ∠4 + ∠5) = 360° [समी (i) से]

⇒ (∠2 + ∠3) + (∠6 + ∠7) = 180°

और (∠1 + ∠8) + (∠4 + ∠5) = 180°

⇒ ∠AOB + ∠COD = 180°

और ∠AOD + ∠BOC = 180°