NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 11 रचनाएँ 11.1 Hindi Medium

Class 10 Maths Chapter 11 Constructions Exercise 11.1 NCERT Solutions in Hindi Medium

रचनाएँ Ganit NCERT Solutions in Hindi Medium Exercise 11.1

निम्न में से प्रत्येक के लिए रचना का औचित्य भी दीजिए :

प्रश्न 1. 7.6 सेमी लंबा एक रेखाखंड खींचिए और इसे 5:8 अनुपात में विभाजित कीजिए | दोनों को मापिए |

Solution

रचना के पद:

1. AB = 7.6 सेमी का रेखाखंड खींचा |
2. न्यून कोण ∠BAX बनाते हुए किरण AX खींची |
3. AX पर, 5 + 8 = 13 बिंदुओं A₁, A₂, A₃, ..... A₁₂, A₁₃, इस प्रकार दर्शाए कि AA₁ = A₁A₂ = A₂A₃ = A₃A₄ = A₄A₅ = A₅A₆ = A₆A₇ = A₇A₈ = A₈A₉ = A₉A₁₀ = A₁₀A₁₁ = A₁₁A₁₂ = A₁₂A₁₃
4. A₁₃B को मिलाया |
5. A₅ से A₅O || A₁₃B, AB के O पर मिलाते हुए खींचा | (∠AA₁₃ के समान कोण बनाते हुए)

तब, AB पर O बिंदु है जो कि इसे 5:8 के अनुपात में विभाजित करता है |
अतः AO:OB = 5:8

तर्क 

माना

AA₁ = A₁A₂ = A₂A₃ = A₃A₄ = A₄A₅ = A₅A₆ = A₆A₇ = A₇A₈ = A₈A₉ = A₉A₁₀ = A₁₀A₁₁ = A₁₁A₁₂ = A₁₂A₁₃ = x

अतः AO:OB = 5:8

नापने पर, AO = 2.9 सेमी 

और OB = 4.7 सेमी

प्रश्न 2. 4 सेमी, 5 सेमी  और 6 सेमी  भुजाओं वाले एक त्रिभुज की रचना कीजिए और फिर इसके समरूप एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसकी भुजाएँ दिए हुए त्रिभुज की संगत भुजाओं की 2/3 गुनी हों |

Solution

रचना के पद:

1. BC = 5 सेमी का रेखाखण्ड खींचा| 
2. B को केंद्र मानकर और त्रिज्या 4 सेमी लेकर एक चाप लगाया |
3. C को केंद्र मानकर और त्रिज्या 6 सेमी लेकर एक चाप लगाया जो पहले चाप को A पर काटता है | 
4. AB और AC को मिलाया | अतः ∆ABC तैयार है | 
5. अब, BC से नीचे ∠CBX (माना 60°) न्यून कोण बनाते हुए किरण BX खींची |
6. BX पर तीन बिंदुओं B₁, B₂, B₃ इस प्रकार दर्शाए कि BB₁ = B₁B₂ = B₂B₃
7. B₃C को मिलाया | 
8. B₂ को BC के बिंदु N से मिलाते हुए B₁N || B₃C खींचा | (∠BB₃C के समान कोण बनाते हुए)
9. N से AB के बिंदु M से मिलाते हुए NM || CA खींचा | (∠BCA के समान कोण बनाते हुए)

अतः ΔMBN अभीष्ट त्रिभुज है जिसकी प्रत्येक भुजा ΔABC की संगत भुजा के सापेक्ष 2/3 गुनी है |

तर्क:

प्रश्न 3. 5 सेमी, 6 सेमी और 7 सेमी भुजाओं वाले एक त्रिभुज की रचना कीजिए और फिर एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसकी भुजाएँ दिए हुए त्रिभुज की संगत भुजाओं की 7/5 गुनी हो|

Solution

1. BC = 5 सेमी का रेखाखण्ड खींचा|
2. B और C को केंद्र मानकर दो चापों की त्रिज्याएँ 7 सेमी तथा 6 सेमी खींचते हैं जो एक-दूसरे को A पर काटती हैं |
3. BA और CA को मिलाया | इस प्रकार ΔABC अभीष्ट त्रिभुज है |
4. बिंदु B से नीचे की ओर ∠CBX न्यून कोण बनाते हुए किरण BX खींची |
5. BX पर सात बिंदु B₁, B₂, B₃, B₄, B₅, B₆ और B₇ इस प्रकार दर्शाएं कि BB₁ = B₁B₂ = B₂B₃ = B₃B₄ = B₄B₅ = B₅B₆ = B₆B₇
6. B₅C को मिलाया और B₇ से B₇M || B₅C इस प्रकार खींचा कि यह BC रेखाखण्ड के बिंदु M पर प्रतिच्छेद करता है | 
7. बिंदु M से MN || CA खींचा जोकि आगे बढ़ाने पर रेखाखण्ड BA के बिंदु N पर प्रतिच्छेद करती है | इस प्रकार ∆NBM एक अभीष्ट त्रिभुज है जिसकी भुजाएँ ΔABC की संगत भुजाएँ के संगत 7/5 गुनी है |

प्रश्न 4. आधार 8 सेमी तथा ऊँचाई 4 सेमी के एक समद्धिबाहू त्रिभुज की रचना कीजिए और फिर एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए जिसकी भुजाएँ इस समद्धिबाहू त्रिभुज की संगत भुजाओं की 1,1/2 गुनी हों|

Solution

रचना के पद:

1. BC = 8 सेमी रेखाखण्ड खींचा |
2. BC रेखाखण्ड के P पर लंब समद्विभाजक खींचा |
3. PQ से PA = 4 सेमी खींचा |
4. BA और CAको मिलाया |
   अतः ΔABC एक अभीष्ट समद्विबाहु त्रिभुज है |
5. B से ∠CBX न्यून कोण बनाते हुए BX किरण खींची|
6. B₁, B₂ और B₂ तीन बिंदुओं को BX पर इस प्रकार दर्शाया कि BB₁ = B₁B₂ = B₂B_3.
7. B₂C को मिलाया | B₃ से रेखा B₃N || B₂C इस प्रकार खींची कि आगे बढ़ाने पर रेखाखण्ड BC के बिंदु N पर प्रतिच्छेद करती है | 
8. बिंदु N से, NM || CA खींची जो BA को आगे बढ़ाने पर M पर मिलती है |

तब, ΔMBN अभीष्ट त्रिभुज है |

प्रश्न 5. एक त्रिभुज ABC बनाइए जिसमें BC = 6 सेमी, AB = 5 सेमी और ∠ABC = 60° हो | फिर एक त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसकी भुजाएँ त्रिभुज ABC की संगत भुजाओं की 3/4 गुनी हों|

Solution

रचना के पद

1. AB = 5 सेमी का रेखाखंड खींचा।
2. बिंदु B पर ∠ABY 60° खींचा तथा BC = 6 सेमी लिया।
3. AC को मिलाया। अतः ΔABC अभीष्ट त्रिभुज है।
4. बिदु A से, AX नीचे की ओर न्यून कोण ∠BAX बनाती हुई रेखा खींची। 
5. रेखा AX पर चार बिंदुओं B₁, B₂, B₃ तथा B₄ इस प्रकार दर्शाए कि
   AB₁ = B₁B₂ = B₂B₃ = B₃B₄
6. B₄B को मिलाया | B₃ से B₄B || B₃N खींचा जो AB के बिंदु M पर काटती है।
7. बिंदु M से, MN || BC खींची जो AC के बिंदु N पर काटती है।

तब, ΔAMN अभीष्ट त्रिभुज है जिसकी भुजाएँ, ΔABC की संगत भुजाओं की 3/4 गुनी है।

प्रश्न 6. एक त्रिभुज ABC बनाइए, जिसमें BC = 7 सेमी, angle B = 45°, ∠A = 105° हो| फिर एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसकी भुजाएँ त्रिभुज ABC की संगत भुजाओं की 4/3 गुनी हों |

Solution

1. दी गई सूचनाओं से ∆ABC की रचना की जिसमें BC = 7 सेमी, ∠B = 45°,
   ∠C = 180° - (∠A + ∠B)
   = 180° - (105° + 45°)
   = 180° - 150°
   = 30°
2. BC के नीचे ∠CBY न्यून कोण बनाते हुए किरण खींची।
3. BY पर चार बिंदुओं B₁, B₂, B₃ और B₄ इस प्रकार खींचे कि
   BB₁ = B₁B₂ = B₂B₃ = B₃B₄
4. B₃C को मिलाया।
5. बिंदु B₄ से, B₄M || B₃C खींची जोकि BC आगे बढ़ाने पर M पर मिलती है।
6. बिंदु M से, OM || AC खींची जोकि BA आगे बढ़ाने पर O पर मिलती है।

तब, ΔOBM अभीष्ट त्रिभुज है जिसकी भुजायें ΔABC की संगत भुजाओं की 4/3 गुनी है।

रचना के पद

1. 
   

प्रश्न 7. एक समकोण त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसकी भुजाएँ (कर्ण के अतिरिक्त) 4 सेमी तथा 3 सेमी लंबाई की हों | फिर एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसकी भुजाएँ दिए हुए त्रिभुज की संगत भुजाओं की 5/3 गुनी हों |

Solution

रचना के पद

1. BC = 4 सेमी का रेखाखंड खींचा।
2. बिंदु B पर 90° का कोण बनाते हुए AB = 3 सेमी लिया।
3. AC को मिलाया। ΔABC दिया गया समकोण त्रिभुज है।
4. बिंदु B से ∠CBY न्यून कोण खींचा।
5. BY पर पाँच बिंदुओं B₁, B₂, B₃, B₄ और B₅ इस प्रकार खींचे कि
   BB₁ = B₁B₂ = B₂B₃ = B₃B₄ = B₄B₅
6. B₃C को मिलाया ।
7. बिंदु B₅ से B₃C' || B₃C खींची जोकि BC को आगे बढ़ाने पर C' पर प्रतिच्छेद करती है।
8. बिंदु C' से, C'A' || CA खींची जो BA को आगे बढ़ाने पर A' पर मिलती है।

अत: अभीष्ट ΔA'BC' है।