NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग 9.1 Hindi Medium

Class 10 Maths Chapter 9 Some Application of Trigonometry Exercise 9.1 NCERT Solutions in Hindi Medium

त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग Ganit NCERT Solutions in Hindi Medium Exercise 9.1

प्रश्न 1. सर्कस का एक कलाकार एक 20 m लंबी डोर पर चढ़ रहा है जो अच्छी तरह से तनी हुई है और भूमि पर सीधे लगे खंभे के शिखर से बंध हुआ है। यदि भूमि स्तर के साथ डोर द्वारा बनाया गया कोण 30° का हो तो खंभे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए (देखिए आकृति)|

Solution

माना खंभे की ऊँचाई (AB) = h मीटर

डोरी की लंबाई (AC) = 20 मीटर

θ = 30^०

समकोण त्रिभुज ABC में; 

अतः खंभे की ऊँचाई (AB) = 10 मीटर

प्रश्न 2. आँधी आने से एक पेड़ टूट जाता है और टूटा हुआ भाग इस तरह मुड़ जाता है कि पेड़ का शिखर जमीन को छूने लगता है और इसके साथ 30^० का कोण बनाता है। पेड़ के पाद-बिंदु की दूरी, जहाँ पेड़ का शिखर जमीन को छूता है, 8 m है। पेड़ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

Solution

माना पेड़ की ऊँचाई AC है और पेड़ बिंदु B से टूटकर

जमीन पर बिंदु D पर झुकी है |

θ = 30^°, AD = 8 m

समकोण त्रिभुज BAD में, BA भुजा के लिए,

अतः पेड़ की ऊंचाई 8√3 मी है |

प्रश्न 3. एक ठेकेदार बच्चों को खेलने के लिए एक पार्क में दो फिसलनपट्टी लगाना चाहती है। 5 वर्ष से कम उम्र के बच्चों के लिए वह एक ऐसी फिसलनपट्टी लगाना चाहती है जिसका शिखर 1.5 m की ऊँचाई पर हो और भूमि के साथ 30° के कोण पर झुका हुआ हो, जबकि इससे अधिक उम्र के बच्चों के लिए वह 3 m की ऊँचाई पर एक अधिक ढाल की फिसलनपट्टी लगाना चाहती है, जो भूमि के साथ 60° का कोण बनाती हो। प्रत्येक स्थिति में फिसलनपट्टी की लंबाई क्या होनी चाहिए?

Solution

(i) चित्र (a) में, पाँच साल कम आयु के बच्चों के लिए फिसलनपट्टी

माना फिसलनपट्टी की उँचाई BC = 1.5 मी है और भूमि के साथ फिसलनपट्टी AC, 30° का कोण बनाती है |

अर्थात, ∠CAB = 30°

समकोण ∆ABC में,

(ii) चित्र (b) में, पाँच साल अधिक आयु के बच्चों के लिए फिसलनपट्टी

माना फिसलनपट्टी की उँचाई PQ = 3 मी है और भूमि के साथ फिसलनपट्टी PR, 60° का कोण बनाती है |

अर्थात, ∠CAB = 30°

समकोण ∆QPR में,

अतः प्रत्येक स्थिति में फिसलनपट्टी की लम्बाई 3 मी तथा 2√3 मी होनी चाहिए | 

प्रश्न 4. भूमि के एक बिंदु से, जो मीनार के पाद-बिंदु से मी की दूरी पर है, यदि मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 30° है तो, मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए |

Solution

माना मीनार BC की ऊँचाई = h मीटर

बिंदु A से मीनार के पाद बिंदु B की दुरी = 30 m

मीनार के शिखर का उन्नयन कोण = 30°

समकोण ΔABC में,

अतः मीनार की ऊंचाई 10√3 मी है | 

प्रश्न 5. भूमि से 60 m की ऊँचाई पर एक पतंग उड़ रही है। पतंग में लगी डोरी को अस्थायी रूप से भूमि के एक बिंदु से बांध् दिया गया है। भूमि के साथ डोरी का झुकाव 60° है। यह मानकर कि डोरी में कोई ढील नहीं है, डोरी की लंबाई ज्ञात कीजिए।

Solution

माना AC डोरी की लम्बाई है

और भूमि से पतंग की ऊँचाई BC = h = 60 है |

समकोण त्रिभुज ABC में,

अतः डोरी की लम्बाई 40√3 मी है | 

प्रश्न 6. 1.5 m लंबा एक लड़का 30 m ऊँचे एक भवन से कुछ दूरी पर खड़ा है। जब वह ऊँचे भवन की ओर जाता है तब उसकी आँख से भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30° से 60° हो जाता है। बताइए कि वह भवन की ओर कितनी दूरी तक चलकर गया है।

Solution

माना कि वह लड़का x m दूर भवन की ओर गया |

लडके ऊंचाई छोड़कर भवन की ऊंचाई (BF) = 30 m - 1.5 m = 28.5 m

समकोण त्रिभुज BDF में,

अब समकोण त्रिभुज BEF में,

समी (ii) से y का मान समी(i) में रखने पर,

अतः लड़का भवन की ओर 19√3 मी चलकर गया |

प्रश्न 7. भूमि के एक बिंदु से एक 20 m ऊँचे भवन के शिखर पर लगी एक संचार मीनार के तल और शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः 45° और 60° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

Solution

माना संचार मीनार की ऊंचाई (DC) = h m

भवन की ऊंचाई (BC) = 20 m

माना भूमि पर वह बिंदु A है |

भवन सहित मीनार की ऊंचाई (BD) = (20 + h) m

समकोण त्रिभुज ABC में,

समकोण त्रिभुज ABC में,

अतः संचार मीनार की ऊँचाई = 20(√3 - 1) मी

प्रश्न 8. एक पेडस्टल के शिखर पर एक 1.6 m ऊँची मूर्ति लगी है। भूमि के एक बिंदु से मूर्ति के शिखर का उन्नयन कोण 60° है और उसी बिंदु से पेडस्टल के शिखर का उन्नयन कोण 45° है। पेडस्टल की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

Solution

माना पेडस्टल की ऊंचाई, BC = h मीटर

मूर्ति की ऊंचाई, CD = 1.6 m

समकोण त्रिभुज BAD में,

अतः पेडस्टल की ऊँचाई 0.8(√3 + 1) मी है |

प्रश्न 9. एक मीनार के पाद-बिंदु से एक भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30^o है और भवन के पाद-बिंदु से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। यदि मीनार 50m ऊँची हो, तो भवन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

Solution

माना भवन की ऊंचाई (AD) = h मी

∠ABD = 30°

∠BAC = 60°

समकोण त्रिभुज BAD में,

समकोण त्रिभुज ABC में,

समी (ii) से x का मां समी (i) में रखने पर,

प्रश्न 10. एक 80 m चैड़ी सड़क के दोनों ओर आमने-सामने समान लंबाई वाले दो खंभे लगे हुए हैं। इन दोनों खंभों के बीच सड़क के एक बिंदु से खंभों के शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः 60° और 30° है। खंभों की ऊँचाई और खंभों से बिंदु की दूरी ज्ञात कीजिए।

Solution

माना भूमि पर वह बिंदु C है |

और खंभों की ऊंचाई = h मी,

C बिंदु से एक खंभे की दुरी = x m

तो दुसरे खंभे की दुरी = (80 - x) m

समकोण त्रिभुज ACE में,

समकोण त्रिभुज CBD में,

समी (ii) से h का मान समी (i) में प्रतिस्थापित करने पर,

x = 20 समी (ii) में रखने पर,

अतः खम्भों की ऊँचाई 20√3 मी तथा खम्भों से बिंदु की दूरी क्रमशः 60 मी और 20 मी है |

प्रश्न 11. एक नहर के एक तट पर एक टीवी टॉवर उर्ध्वार्धर खड़ा है टॉवर के ठीक सामने दूसरे तट के एक अन्य बिंदु से टॉवर के शिखर का उन्नयन कोण 60° है। इसी तट पर इस बिंदु से 20 m दूर और इस बिंदु को मीनार के पाद से मिलाने वाली रेखा पर स्थित एक अन्य बिंदु से टावर के शिखर का उन्नयन कोण 30° है । टॉवर की ऊँचाई और नहर की चैड़ाई ज्ञात कीजिए।

Solution

माना टॉवर (AB) की ऊंचाई = h मी

नहर BC की चौड़ाई = x मी

समकोण त्रिभुज ABD में,

समकोण त्रिभुज ACB में,

समी (ii) से h का मां समी (i) में प्रस्थापित करने पर,

x का मान समी (ii) में रखने पर,

h = √3 × 10 = 10√3

अतः टॉवर की ऊँचाई 10√3 मी और नहर की चौड़ाई 10 मी है |

प्रश्न 12. 7 m ऊँचे भवन के शिखर से एक केबल टावर के शिखर का उन्नयन कोण 60° है और इसके पाद का अवनमन कोण 45^o है। टॉवर की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

Solution

माना टॉवर की ऊँचाई = h मीटर

भवन AD की ऊंचाई = 7 मी

AD = BE = 7 मीo

CE की लंबाई = h - 7 मी

समकोण त्रिभुज ABD में,

समकोण त्रिभुज CDE में,

समी (i) से x का मान समी (ii) में रखने पर,

h = 7√3 + 7

⇒ h = 7(√3 + 1)

अतः केवल टॉवर की ऊँचाई 7(√3 + 1) मी 

प्रश्न 13. समुद्र-तल से 75 m ऊँची लाइट हाउस के शिखर से देखने पर दो समुद्री जहाजों के अवनमन कोण 30° और 45° हैं। यदि लाइट हाउस के एक ही ओर एक जहाज दूसरे जहाज के ठीक पीछे हो तो दो जहाजों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

Solution

माना दो जहाजों A तथा B है

जिनका अवनमन कोण क्रमश: 30° और 45° है |

लाइट-हाउस DC की ऊंचाई = 75 m

चूँकि अवनमन कोण उन्नयन कोण के बराबर होता है |

∴ ∠DBC = 45° और ∠DAC = 30°

यहाँ, ∠DAC = ∠ODA = 30° (एकांतर कोण)

तथा ∠CBD = ∠ODB = 45° (एकांतर कोण)

माना BC = x मी

समकोण ACD में,

समकोण DBC में,

समी (ii) से x का मान समी (i) में रखने पर,

75 + y = 75√3

⇒ y = 75√3 - 75

⇒ y = 75(√3 - 1)

अतः दो जहाजों के बीच की दूरी = 75(√3 - 1) मी

प्रश्न 14. 1.2 m लंबी एक लड़की भूमि से 88.2 m की ऊँचाई पर एक क्षैतिज रेखा में हवा में उड़ रहे गुब्बारे को देखती है। किसी भी क्षण लड़की की आँख से गुब्बारे का उन्नयन कोण 60° है। कुछ समय बाद उन्नयन कोण घटकर 30° हो जाता है | इस अन्तराल के दौरान गुब्बारे द्वारा तय की गयी दुरी ज्ञात कीजिए | 

Solution

लड़की की ऊंचाई = 1.2 m

भूमि से गुब्बारे की ऊंचाई = 88.2 m

लड़की को छोड़कर गुब्बारे की ऊंचाई = 88.2 - 1.2

FG = EC = 87.0 m

तय दुरी = GC

समकोण FDG में,

समकोण EDC में,

समी से का मान समी में रखने पर,

अर्थात इस अन्तराल के दौरान गुब्बारे द्वारा तय की गयी दुरी 58√3 m है |

प्रश्न 15. एक सीध राजमार्ग एक मीनार के पाद तक जाता है। मीनार के शिखर पर खड़ा एक आदमी एक कार को 30° के अवनमन कोण पर देखता है जो कि मीनार के पाद की ओर एक समान चाल से जाता है। छः सेकंड बाद कार का अवनमन कोण 60° हो गया। इस बिंदु से मीनार के पाद तक पहुँचने में कार द्वारा लिया गया समय ज्ञात कीजिए।

Solution

माना कार को बिंदु B से मीनार के पाद C तक पहुँचने में x सेकेण्ड लगता है |

अब, ∠DAC = ∠ODA = 30° (एकांतर कोण)

तथा  ∠DAC = ∠ODA = 60° (एकांतर कोण)

माना AB = y और BC = x

समकोण BCD में,

समकोण ACD में,

समी (i) से h का मान समी (ii) में रखने पर,

⇒ x + 6 = √3 × √3

⇒ x + 6 = 3x

⇒ x - 3x = -6

⇒ -2x = -6

∴ x = 3

अतः बिंदु B से मीनार के पाद पहुँचने में कार द्वारा लिया गया समय = 3 सेकंड

प्रश्न 16. मीनार के आधर से और एक सरल रेखा में 4 m और 9 m की दूरी पर स्थित दो बिंदुओं से मीनार के शिखर के उन्नयन कोण पूरक कोण हैं। सिद्ध कीजिए कि मीनार की ऊँचाई 6 m है।

Solution

माना मीनार की ऊँचाई = h मीटर है |

समकोण त्रिभुज DCB में,