रचनाएँ Ganit NCERT Solutions in Hindi Medium Exercise 11.2

निम्न में से प्रत्येक के लिए रचना का औचित्य भी दीजिए :

प्रश्न 1. 6 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए | केंद्र से 10 सेमी दूरी स्थित एक बिन्दु से वृत्त पर स्पर्श रेखा युग्म की रचना कीजिए और उनकी लंबाइयाँ मापिए |

Solution

दिया है: 6 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त जिसका केन्द्र 0 है और इसके केंद्र से 10 सेमी की दूरी पर एक बिंदु P है। 

रचना के पद

1. O केंद्र वाला 6 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचा।
2. OP = 10 सेमी खींचा और इसे समद्विभाजित किया। माना M, OP का मध्य-बिंदु है।
3. M को केंद्र मानकर OM त्रिज्या का एक वृत्त खींचा। माना यह वृत्त पहले वृत्त को A और B पर प्रतिच्छेद करता है।
4. PA और PB को मिलाया।
5. PA और PB अभीष्ट स्पर्शियाँ हैं। मापने पर PA = PB = 8 सेमी।

तर्क: OA और OB को मिलाया

तब, ∠OAP वृत्तखंड में एक कोण है।

अतः ∠OAP = 90°

⇒ OA ⊥ AP

चूँकि OA वृत्त की त्रिज्या है, इसलिए AP वृत्त की स्पर्शी है।

इसी प्रकार BP भी वृत्त की एक स्पर्शी है।

प्रश्न 2. 4 सेमी त्रिज्या के एक वृत्त पर 6 सेमी त्रिज्या के एक सकेंद्रीय वृत्त के किसी बिन्दु से एक स्पर्श रेखा की रचना कीजिए और उसकी लंबाई मापिए | परिकलन से इस माप की जाँच भी कीजिए |

Solution

दिया है: दो सकेंद्रीय वृत्त जिनकी त्रिज्याएँ समान केंद्र O पर 4 सेमी और 6 सेमी हैं। हमें अंतः वृत्त पर स्पर्शी बाह्य वृत्त के बिंदु से खींचनी है |

रचना के पद

1. O केंद्र वाले 4 सेमी और 6 सेमी त्रिज्या के दो संकेंद्रीय वृत्त खींचे।
2. बाह्य वृत्त पर एक बिंदु P लिया | OP को मिलाया ।
3. OP को समद्विभाजित किया। माना M', OP का मध्य-बिंदु है। M' को केंद्र मानकर OM' त्रिज्या का वृत्त (बिंदु रेखा वाला) खींचा जोकि अंतः वृत्त को M और P' पर प्रतिच्छेद करता है।
4. PM और PP' को मिलाया। अतः PM और PP' अभीष्ट स्पर्शियाँ हैं।
5. मापने पर PM = PP' = 4.47 सेमी

गणना:

समकोण ΔOMP में, ∠PMO = 90°

∴  PM² = OP² – OM² (पाइथागोरस प्रमेय से)
⇒ PM² = (6)² – (4)² = 36 – 16 = 20
⇒ PM = √20 = 4.47

अतः स्पर्शी की लंबाई 4.47 सेमी है।

तर्क:

OM और OP' को मिलाया जोकि त्रिज्याएँ हैं।

∠OMP वृत्तखंड का कोण है। अतः ∠OMP = 90°

∴ OM ⊥ OP

क्योंकि OM वृत्त की त्रिज्या है। अत: MP वृत्त की स्पर्शी है।

इसी प्रकार PP' वृत्त की स्पर्शी है।

प्रश्न 3. 3 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए | इसके किसी भी बढाए गए व्यास पर केंद्र से 7 सेमी की दूरी पर स्थित दो बिन्दु P और Q लीजिए | इन दोनों बिन्दुओं से वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ खींचिए |

Solution

दिया है: 3 सेमी त्रिज्या के वृत्त के व्यास पर दो बिंदु P और Q इस प्रकार है कि

OP = OQ = 7 सेमी

हमें बिंदु P और Q से वृत्त पर स्पर्शियाँ खींचनी हैं।

रचना के पद:

1. O केंद्र वाले 3 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचा।
2. इसके व्यास को दोनों ओर खींचकर उस पर बिंदु P और Q इस प्रकार लिया कि OP = OQ = 7 सेमी।
3. OP और OQ को समद्विभाजित किया। माना E और F क्रमश: OP और OQ के मध्य-बिंदु हैं।
4. E को केंद्र मानकर OE त्रिज्या का एक वृत्त खींचा जोकि दिए गए वृत्त (0, 3 ) को दो बिंदुओं M और N पर प्रतिच्छेद करता है।
   पुन: F को केंद्र मानकर तथा OF त्रिज्या लेकर एक वृत्त खींचा जोकि दिए गए वृत्त (0, 3) को दो बिंदु P' और Q' पर प्रतिच्छेद करता है।
5. PM, PN, OP' और QQ' को मिलाया। ये दिए गए वृत्त (0, 3) के बिंदु P और Q से अभीष्ट स्पर्शियाँ हैं।

तर्क: OM और ON को मिलाया | ∠OMP वृत्तखंड का कोण है। अतः ∠OMP = 90° क्योंकि OM वृत्त की त्रिज्या है । अत: MP वृत्त की स्पर्शी होगी। इसी प्रकार PN, QP और QQ' भी दिए वृत्त की स्पर्शियाँ हैं ।

प्रश्न 4. 5 सेमी त्रिज्या के एक वृत्त पर ऐसी दो पार्ष रेखाएँ खींचिए, जो परस्पर 60^o के कोण पर झुकी हों |

Solution

दिया है: 5 सेमी त्रिज्या का वृत्त। हमें वृत्त की ऐसी स्पर्शियों का युग्म खींचना जो एक-दूसरे से 60° पर झुकी हों।

रचना के पद:

1. O केंद्र वाले 5 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचा।
2. इस वृत्त का व्यास POQ खींचा।
3. इसकी एक त्रिज्या OR इस प्रकार खींची कि ∠QOR = 60°
4. PD ⊥ PQ और RE ⊥ OR खींचा।

माना PD और RE एक-दूसरे को बिंदु N पर प्रतिच्छेद करती है। तब, NP और NR दिए गए वृत्त की 60° पर झुकी अभीष्ट स्पर्शियाँ हैं।

तर्क:

∠OPN = 90° (रचना से)

और OP त्रिज्या है। ∴ PN वृत्त की स्पर्शी है।

इसी प्रकार RN वृत्त की स्पर्शी है।

∠POR = 180° – 60° = 120°

चतुर्भुज OPNR में

∠OPN = 90°, ∠POR = 120° और ∠ORN = 90°

∠PNR = 360° – (90° + 120° + 90°) = 60°

प्रश्न 5. 8 cm लंबा एक रेखाखंड AB खींचिए | A को केंद्र मान कर 4 cm त्रिज्या का एक वृत्त तथा B को केंद्र लेकर 3 cm त्रिज्या का एक अन्य वृत्त खींचिए | प्रत्येक वृत्त पर दूसरे वृत्त के केंद्र से स्पर्श रेखाओं की रचना कीजिए |

Solution

दिया है: AB = 8 सेमी का रेखाखंड, A और B केंद्र वाले दो वृत्त जिनकी त्रिज्याएँ क्रमशः 4 सेमी और 3 सेमी हैं। हमें प्रत्येक वृत्त के केंद्र से दूसरे वृत्त पर स्पर्शी खींचनी है |

रचना के पद:

1. AB 8 सेमी का रेखाखंड खींचा।
2. A केंद्र पर 4 सेमी त्रिज्या वाला और B केंद्र पर 3 सेमी त्रिज्या वाला वृत्त खींचा।
3. अब, AB समद्विभाजित किया। माना O, AB का मध्य-बिंदु है। O को केंद्र मानकर AO त्रिज्या से एक वृत्त (बिंदुदार) खींचा जोकि दोनों वृत्तों को बिंदुओं N, Q, M और P पर प्रतिच्छेद करता है।
4. AN, AQ, BM और BP को मिलाया। ये सभी अभीष्ट स्पर्शियाँ हैं।

तर्क:

AM और AP को मिलाया।

तब, ∠AMB वृतखंड का कोण है।

अतः ∠AMB = 90°

⇒ AM ⊥ BM

क्योंकि AM, A केंद्र वाले वृत्त की त्रिज्या है। अतः BM, A केंद्र वाले वृत्त की स्पर्शी है। इसी प्रकार, BP भी A केंद्र वाले वृत्त की स्पर्शी है।

पुनः BN और BQ को मिलाया। तब, ∠ANB वृत्तखंड का कोण है ।

अतः ∠ANB = 90°

⇒ AN ⊥ BN

और BN, B केंद्र वाले वृत्त की त्रिज्या है।

अत: AN, B केंद्र वाले वृत्त की स्पर्शी है इसी प्रकार, AQ भी B केंद्र वाले वृत्त की स्पर्शी है।

प्रश्न 6. माना ABC एक समकोण त्रिभुज है, जिसमें AB = 6 cm, BC cm तथा angle =B = 90^o है | B से AC पर BD लंब है | बिन्दुओं B,C,D से होकर जाने वाला एक वृत्त खींचा गया है | A से इस वृत्त प[पर स्पर्श रेखा की रचना कीजिए |

Solution

दिया है: ΔABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें AB = 6 सेमी, BC = 8 सेमी और ∠B = 90° है। और BD, AC पर लंब है।

रचना के पद:

1. AB = 6 सेमी का रेखाखंड खींचा और BC = 8 सेमी खींचा। जोकि एक-दूसरे पर लंब है AC को मिलाया इस प्रकार ΔABC समकोण त्रिभुज है।
2. BC के मध्य-बिंदु F को केंद्र मानकर 4 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचा। जो बिंदु B, C तथा D से होकर जाता है।
3. AF को मिलाया और इसे समद्विभाजित किया। माना AF का मध्य-बिंदु O है।
4. O को केंद्र तथा OA त्रिज्या लेकर एक वृत्त खींचा जोकि दिए वृत्त (B, C तथा D से होकर जाता हुआ वृत्त) को B और M पर प्रतिच्छेद करता है।
5. AB और AM को मिलाया जोकि अभीष्ट स्पर्शियाँ हैं।

तर्क:

FM और FB को मिलाया, तब ∠AMF वृत्तखंड का कोण है। अतः ∠AMF = 90°

⇒ FM ⊥ AM

चूँकि FM वृत्त की त्रिज्या है। अतः AM, F केंद्र वाले वृत्त की स्पर्शी है। इसी प्रकार AB, F केंद्र वाले वृत्त की स्पर्शी है।

प्रश्न 7. किसी चूड़ी की सहायता से एक वृत्त खींचिए | वृत्त के बाहर एक बिन्दुओं लीजिए | इस बबिन्दु से वृत्त पर स्पर्श रेखाओं की रचना कीजिए | 

Solution

दिया है: चूड़ी की सहायता से वृत्त खींचना हैं और वृत्त के बाहर एक बिंदु R है। 

रचना के पद:

1. चूड़ी की सहायता से एक वृत्त खींचा।
2. दो जीवाएँ AP और MT खींची। AP और MT का लंब समद्विभाजक खींचे जो एक-दूसरे को बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं, जोकि वृत्त का केंद्र है।
3. वृत्त के बाहर बिंदु R लिया। OR को मिलाकर समद्विभाजित किया।
4. माना OR का मध्य-बिंदु Q है| Q को केंद्र मानकर OQ त्रिज्या लेकर बिंदुदार वृत्त खींचा जो दिए वृत्त को S और N पर प्रतिच्छेद करता है।
5. RS तथा RN को मिलाया। इस प्रकार RS तथा RN बिंदु R से अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।

तर्क:

OS तथा ON को मिलाया, तब ZOSR वृत्तखंड का कोण है।

अतः ∠OSR = 90°

⇒ OS ⊥ SR

चूँकि OS, O केंद्र वाले वृत्त की त्रिज्या है । अत: SR, O केंद्र वाले वृत्त की स्पर्शी है। इसी प्रकार RN भी O केंद्र वाले वृत्त की स्पर्शी है।