समांतर श्रेढ़ियाँ Ganit NCERT Solutions in Hindi Medium Exercise 5.1

प्रश्न 1. निम्नलिखित स्थितयों में से किन स्थितयों में संबद्ध संख्याओं की सूची A.P है और क्यों?

(i) प्रत्येक किलों मीटर के बाद टैक्सी का किराया, जबकि प्रथम किलो मीटर के लिए किराया 15 रुo है और प्रत्येक अतिरिक्त किलो मीटर के लिए किराया 8 रुo है |

(ii) किसी बेलन (cylinder) में उपस्थित हवा की मात्रा, जबकि वायु निकालने वाला पम्प प्रत्येक बार बेलन की हवा का ¼ भाग बाहर निकाल देता है |

(iii) प्रत्येक मीटर की खुदाई के बाद, एक कुआं खोदने में आई लागत, जबकि प्रथम मीटर खुदाई की लागत 150 रुo है और बाद में प्रत्येक खुदाई की लागत 50 रुo बढ़ती जाती है |

(iv) खाते में प्रत्येक वर्ष का मिश्रधन, जबकि 10000 रुo की राशि 8 % वार्षिक की दर से चक्रवृद्धि ब्याज पर जमा की जाती है |

Solution

(i) प्रथम किलोमीटर का किराया = 15 रुपये |
अतिरिक्त किलोमीटर का किराया = 8 रुपये

श्रृंखला : 15, 23, 31, 39 .....

जाँच:

a = 15
d₁ = a₂ - a₁ = 23 - 15 = 8
d₂ = a₃ - a₂ = 31 - 23 = 8
d₃ = a₄ - a₃ = 39 - 31 = 8

चूँकि सभी अंतरों का अंतर सामान है अर्थात सार्वअंतर = 8 है | इसलिए दिया गया सूची A. P है |

(ii) माना बेलन में हवा की मात्रा 1 है |

उपरोक्त श्रेणी समान्तर श्रेणी में नहीं है, क्यूंकि सार्वअंतर सामान नहीं है |

(iii) प्रथम मीटर का लागत = 150,
दुसरे मीटर खुदाई की लागत = 150 + 50 = 200
तीसरे मीटर खुदाई की लागत = 200 + 50 = 250

श्रृंखला : 150, 200, 250, 300 .....

जाँच:

a = 150
d₁ = a₂ - a₁ = 200 - 150 = 50
d₂ = a₃ - a₂ = 250 - 200 = 50
d₃ = a₄ - a₃ = 300 - 250 = 50

सार्व अंतर = 50
यहाँ सार्व अंतर समान है इसलिए यह श्रृंखला A.P है|

(iv) पहले वर्ष की राशि = 10000

श्रृंखला: 10000, 10800, 11664 ......

स्पष्ट है कि इस श्रृंखला का सार्व अंतर समान नहीं है अत: A.P नहीं है |

प्रश्न 2. दी हुई A.P के प्रथम चार पद लिखिए, जबकि प्रथम पद a और सार्व अंतर d निम्नलिखित हैं :

(i)  a = 10, d = 10

(ii) a = -2, d = 0

(iii) a = 4, d = -3

(iv) a = -1, d = 1/2

(v) a = -1.25, d = -0.25

Solution

(i)  a = 10, d = 10

a = 10

a₂ = a + d ⇒ 10 + 10 = 20

a₃ = a + 2d ⇒ 10 + 2×10 = 30

a₄ = a + 3d ⇒ 10 + 3×10 = 40

श्रृंखला: 10, 20, 30, 40 ......

प्रथम चार पद: 10, 20, 30 और 40

(ii) a = –2, d = 0

a = –2

a₂ = a + d ⇒ –2 + 0 = –2

a₃ = a + 2d ⇒ –2 + 2×0 = –2

a₄ = a + 3d ⇒ –2 + 3×0 = –2

श्रृंखला: –2, –2, –2, –2 ......

प्रथम चार पद : –2, –2, –2 और –2

(iii) a = 4, d = – 3

a = 4

a₂ = a + d ⇒ 4 + (-3) = 1

a₃ = a + 2d ⇒ 4 + 2×-3 = -2

a₄ = a + 3d ⇒ 4 + 3×-3 = -5

श्रृंखला: 4, 1, -3, -5.....

प्रथम चार पद : 4, 1, -3 और -5

(iv) a = -1, d = 1/2

(v) a = -1.25, d = -0.25

a = -1.25

a₂ = a + d ⇒ –1.25 + (–0.25) = -1.5

a₃ = a + 2d ⇒ –1.25 + 2×-0.25 = -1.75

a₄ = a + 3d ⇒ –1.25 + 3×-0.25 = –2

श्रृंखला: – 1.25, -1.5, –1.75, –2 ......

प्रथम चार पद : -1.25, - 1.5, -1.75 और -2

प्रश्न 3. निम्नलिखित में से प्रत्येक समान्तर श्रेणी के लिए प्रथम पद और सार्वअंतर लिखिए |

(i) 3, 1, -1, -3, ....

(ii) -5, -1, 3, 7, ....

(iii) 1/3, 5/3, 9/3, 13/3, ....

(iv) 0.6, 1.7, 2.8, 3.9, ....

Solution

(i) प्रथम पद (a) = 3
सार्वअंतर (d) = दूसरा पद - पहला पद
= 1 - 3 = -2

(ii) प्रथम पद (a) = -5
सार्वअंतर (d) = दूसरा पद - पहला पद
= -1 - (-5)
= -1 + 5 = 4

(iii) प्रथम पद (a) = 1/3
सार्वअंतर (d) = दूसरा पद - पहला पद

(iv) प्रथम पद (a) = 0.6
सार्वअंतर (d) = दूसरा पद - पहला पद
= 1.7 - 0.6
= 1.1

प्रश्न 4. निम्नलिखित में से कौन-कौन A.P हैं? यदि कोई A.P है, तो इसका सार्व अंतर ज्ञात कीजिए और इनके तीन पद लिखिए |

(i) 2, 4, 6, 8, 16, ....

(ii) 2, 5/2, 3, 7/2, ....

(iii) -1.2, -3.2, -5.2, -7.2, ....

(iv) -10, -6, -2, 2, ....

(v) 3, 3+√2, 3+2√2, 3+3√2, ....

(vi) 0.2, 0.22, 0.222, 0.2222, ....

(vii) 0, -4, -8, -12, ....

(viii) -1/2, -1/2, -1/2, -1/2, ....

(ix) 1, 3, 9, 27, ....

(x) a, 2a, 3a, 4a, ....

(xi) a, a², a³, a⁴, ....

(xii) √2, √8, √18, √32, ....

(xiii) √3, √6, √9, √12, ....

(xiv) 1², 3², 5², 7², ....

(xv) 1², 5², 7², 73, ....

Solution

(i) 2, 4, 6, 8, 16, ....

यहाँ, a₁ = 2, a₂ = 4, a₃ = 8, a₄ = 16

अतः दी गयी श्रेणी समांतर श्रेणी में नहीं है क्यूंकि सार्वअंतर समान नहीं है |

(ii) 2, 5/2, 3, 7/2, ....

स्पष्ट है, लगातार एक के बाद एक पदों का अंतर नियत है | अतः संख्याएँ समांतर श्रेणी में है |

(iii) -1.2, -3.2, -5.2, -7.2, ....

a = -1.2

d₁ = a₂ - a₁ = -3.2 - (-1.2 ) = -3.2 + 1.2 = -2

d₂ = a₃ - a₂ = -5.2 - (-3.2 ) = -5.2 + 3.2 = -2

d₃ = a₄ - a₃= -7.2 - (-5.2 ) = -7.2 + 5.2 = -2

सार्व अंतर = -2

चूँकि सार्व अंतर समान है इसलिए यह A.P है | इनके अगले तीन पद हैं :

a₅ = a + 4d = -1.2 + 4×(- 2) = -1.2 - 8 = -9.2

a₆ = a + 4d = -1.2 + 5×(- 2) = -1.2 - 10 = -11.2

a₇ = a + 4d = -1.2 + 6×(- 2) = -1.2 - 12 = -13.2

⇒ -9.2, -11.2, -13.2

(iv) -10, -6, -2, 2, ....

a = -10

d₁ = a₂ - a₁ = -6 - (-10) = -6 + 10 = 4

d₂ = a₃ - a₂ = -2 - (-6) = -2 + 6 = 4

d₃ = a₄ - a₃ = 2 - (-2) = 2 + 2 = 4

सार्व अंतर = 4

चूँकि सार्व अंतर समान है इसलिए यह A.P है |

इनके अगले तीन पद हैं :

a₅ = a + 4d = -10 + 4×4 = -10 + 16 = 6

a₆ = a + 4d = -10 + 5×4 = -10 + 20 = 10

a₇ = a + 4d = – 10 + 6×4 = -10 + 24 = 14

⇒ 6, 10, 14