वृत्त Ganit NCERT Solutions in Hindi Medium Exercise 10.3

प्रश्न 1. वृत्तों के कई जोड़े (युग्म) खींचिए। प्रत्येक जोड़े में कितने बिन्दु उभयनिष्ठ हैं? उभयनिष्ठ बिन्दुओं की अधिकतम संख्या क्या है?

Solution

वृत्तों के कई युग्म इस प्रकार हैं:

(i) दो उभयनिष्ठ बिन्दु

(ii) एक उभयनिष्ठ बिन्दु

(iii) कोई उभयनिष्ठ बिन्दु नहीं

(iv) कोई उभयनिष्ठ बिन्दु नहीं

(v) एक उभयनिष्ठ बिन्दु

आकृति से, यह स्पष्ट है कि ये युग्म 0 या 1 या दो बहुत से उभयनिष्ठ बिन्दु रखते हैं। अतः वृत्तों का एक युग्म परस्पर एक-दूसरे को दो से अधिक बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद नहीं कर सकते हैं।

प्रश्न 2. मान लीजिए आपको एक वृत्त दिया है। एक रचना इसके केंद्र को ज्ञात करने के लिए दीजिए।

Solution

रचना के चरण

1. वृत्त पर तीन बिन्दु P, Q तथा R लेते हैं।
2. PQ तथा QR मिलाते हैं।
3. जीवा PQ तथा RQ के लम्बार्द्धक क्रमश: MQ' तथा NS खींचते हैं जो परस्पर एक-दूसरे को O पर प्रतिच्छेद करते हैं।
   अतः O वृत्त का केन्द्र है।

प्रश्न 3. यदि दो वृत्त परस्पर दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करें, तो सिद्ध कीजिए कि उनके केंद्र उभयनिष्ठ जीवा के लम्ब समद्विभाजक पर स्थित हैं।

Solution

दिया है केन्द्रों O तथा O' के साथ दो वृत्त क्रमश: बिन्दु M तथा N पर प्रतिच्छेद इस प्रकार करते हैं कि इन दोनों वृत्तों की उभयनिष्ठ जीवा MN है तथा OO' दोनों वृत्तों के केन्द्रों को मिलाने वाला रेखाखण्ड है। माना OO', MN को बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करती है।

सिद्ध करना है: MN का लम्बार्द्धक OO' है।

रचना: रेखाखण्ड OM, ON, O'M तथा ON को खींचिए ।

प्रमाण:

∆OMO' तथा ∆ONO' में,

OM = ON (एक ही वृत्त की त्रिज्या)

O'M = O'N (एक ही वृत्त की त्रिज्या)

OO' = OO' (उभयनिष्ठ)

SSS युक्ति से,

∆OMO' ≌ ∆ONO'

अतः ∠MOO' = ∠NOO' (CPCT द्वारा)

∠MOP = ∠NOP ...(i)

(∵ ∠MOO' = ∠MOP तथा ∠NOO' = ∠NOP)

∆MOP तथा ∆NOP में,

OM = ON (एक ही वृत्त की त्रिज्या)

∠MOP = ∠NOP [समी (i) से]

तथा, OM = OM (उभयनिष्ठ)

∴ SAS युक्ति से,

∆MOP ≡ ∆NOP

अतः MP = NP (CPCT द्वारा)

तथा ∠MPO = ∠NPO

परन्तु, ∠MPO + ∠NPO = 180° (∵ MPN एक सरल रेखा है)

2 ∠MPO =180° (∵ ∠MPO = ∠NPO)

⇒ ∠MPO = 90°

अतः MP = PN

तथा, ∠MPO = ∠NPO = 90°

अतः MN का लम्बार्द्धक OO' है।