Class 9 Maths Chapter 7 Triangles 7.1 NCERT Solutions in Hindi Medium
त्रिभुज Ganit NCERT Solutions in Hindi Medium Exercise 7.1
प्रश्न 1. चतुर्भुज ACBD में, AC = AD है और AB, ∠A को समद्विभाजित करता है | (देखिये आकृति 7.16). दर्शाइए Δ ABC ≅ Δ ABD है |
Solution
AC = AD और AB, ∠A को समद्विभाजित करता है |
सिद्ध करना: ΔABC ≅ ΔABD
प्रमाण:
ΔABC तथा ΔABD में,
दिया है, AC = AD
∠CAB = ∠BAD [AB, ∠A समद्विभाजित करता है ]
AB = AB [उभयनिष्ठ]
SAS सर्वांगसमता नियम से ,
ΔABC ≅ ΔABD
BC = BD [CPCT से]
प्रश्न 2. ABCD एक चतुर्भुज है जिसमें AD = BC है और ∠ DAB = ∠ CBA (see Fig.7.17) है | सिद्ध कीजिए कि :
(i) Δ ABD ≅ Δ BAC
(ii) BD = AC
(iii) ∠ ABD = ∠ BAC
Solution
दिया है, ABCD एक चतुर्भुज है जिसमें AD = BC और ∠DAB = ∠CBA है |
सिद्ध करना है:
(i) ΔABD ≅ ΔBAC
(ii) BD = AC
(iii) ∠ABD = ∠BAC
प्रमाण :
(i) ΔABD तथा ΔBAC में,
दिया है, AD = BC
∠DAB = ∠ CBA
AB = AB [उभयनिष्ठ]
SAS सर्वांगसमता नियम से,
ΔABD ≅ ΔBAC
(ii) BD = AC [CPCT से]
(iii) ∠ABD = ∠BAC [CPCT से]
प्रश्न 3. एक रेखाखंड AB पर AD और BC दो बराबर लंब रेखाखंड हैं (देखिये आकृति 7.18) | दर्शाइए कि CD, AB रेखाखंड को समद्विभाजित करता है |
Solution
दिया है, AD ⊥ AB और BC ⊥ AB है और AD = BC है |
सिद्ध करना है :
AO = BO अर्थात CD, AB रेखाखंड को समद्विभाजित करता है |
प्रमाण :
∆AOD तथा ∆BOC में,
∠AOD = ∠ BOC (शीर्षाभिमुख कोण)
∠DAO = ∠CBO (प्रत्येक 90º)
दिया है, BC = AD
ASA सर्वांगसमता नियम से,
∆AOD ≅ ∆BOC
∴ AO = BO [CPCT से]
अत: CD, AB रेखाखंड को समद्विभाजित करता है |
प्रश्न 4. l और m दो समांतर रेखाएँ हैं जिन्हें समांतर रेखाओं p और q का एक अन्य युग्म प्रतिच्छेद करता है | दर्शाइए कि ∆ABC ≅ ∆CDA है |
Solution
दिया है, l || m और p || q है जो एक दुसरे को A, B, C तथा D पर प्रतिच्छेद करते हैं |
सिद्ध करना है: ∆ABC ≅ ∆CDA
प्रमाण :
दिया है,
l || m ...(i)
p || q ...(ii)
समी० (i) तथा (ii) से
ABCD एक समांतर चतुर्भुज है |
अब, ∆ABC तथा ∆CDA में,
BC = AD [समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजा]
∠B = ∠D [समांतर चतुर्भुज की सम्मुख कोण]
दिया है, AC = AC
SAS सर्वांगसमता नियम से,
∴ ∆ABC ≅ ∆CDA
प्रश्न 5. रेखा l कोण A को समद्विभाजित करती है और B रेखा l पर स्थित कोई बिंदु है | BP और BQ कोण A की भुजाओं पर B से डाले गए लम्ब हैं (देखिये आकृति 7.20) दर्शाइए कि :
(i) Δ APB ≅ Δ AQB
(ii) BP = BQ हैं, अर्थात बिंदु B कोण की भुजाओं से समदूरस्थ है
Solution
दिया है, ∠PAQ को रेखा l समद्विभाजित करती है और BP तथा BQ, AP तथा AQ पर क्रमश: लंब है |
सिद्ध करना है:
(i) Δ APB ≅ Δ AQB
(ii) BP = BQ
प्रमाण:
(i) ΔAPB तथा ΔAQB में,
∠APB = ∠AQB (90° प्रत्येक)
दिया है, ∠PAB = ∠QAB
AB = AB (उभयनिष्ठ)
ASA सर्वांगसमता नियम से,
ΔAPB ≅ ΔAQB
∴ (ii) BP = BQ [CPCT से]
प्रश्न 6. आकृति 7.21 में, AC = AE, AB = AD और ∠ BAD = ∠ EAC है | दर्शाइए कि BC = DE है |
Solution
दिया है, AC = AE, AB = AD और ∠ BAD = ∠ EAC है |
सिद्ध करना है: BC = DE
प्रमाण:
दिया है,
∠BAD = ∠EAC ...(i)
समी० के दोनों पक्षों में ∠CAD जोड़ने पर,
∠BAD + ∠CAD = ∠EAC + ∠CAD
या ∠BAC = ∠EAD ...(ii)
ΔBAC तथा ΔDAE में,
AC = AE (दिया है)
AB = AD (दिया है)
∠BAC = ∠EAD ...समी० (ii) से
SAS सर्वांगसमता नियम से,
ΔBAC ≅ ΔDAE
∴ BC = DE [CPCT से]
प्रश्न 7. AB एक रेखाखंड है और P इसका मध्य-बिंदु है | D और E रेखाखंड AB के एक ही ओर स्थित दो बिंदु इस प्रकार हैं कि ∠ BAD = ∠ ABE और ∠ EPA = ∠ DPB है | (देखिए आकृति 7.22) |
दर्शाइए कि :
(i) Δ DAP ≅ Δ EBP
(ii) AD = BE
Solution
दिया है, AB एक रेखाखंड है और P इसका मध्य-बिंदु है | ∠ BAD = ∠ ABE और ∠ EPA = ∠ DPB है |
सिद्ध करना है :
(i) Δ DAP ≅ Δ EBP
(ii) AD = BE
प्रमाण:
∠EPA = ∠DPB ...(i) [दिया है]
समी० (i) के दोनों पक्षों में ∠EPD जोड़ने पर,
∠EPA + ∠EPD = ∠DPB + ∠EPD
या ∠DPA = ∠EPB ...(ii)
Δ DAP तथा Δ EBP में,
AP = BP (दिया है)
∠BAD = ∠ ABE (दिया है)
∠DPA = ∠ EPB ...समी० (ii) से
ASA सर्वांगसमता नियम से,
ΔDAP ≅ ΔEBP [जोकि भाग (i) है]
AD = BE [CPCT से] [जोकि भाग (ii) है]
प्रश्न 8. एक समकोण त्रिभुज ABC में, जिसमें कोण C समकोण हैं, M कर्ण AB का मध्य-बिंदु हैं | C को M से मिलाकर D तक इस प्रकार बढाया गया है कि DM = CM हैं | बिंदु D को B से मिला दिया जाता है |
दर्शाइए कि :
(i) ΔAMC ≅ ΔBMD
(ii) ∠ DBC एक समकोण है
(iii) ΔDBC ≅ ΔACB
(iv) CM = ½ AB
Solution
दिया है, ΔACB जिसमें ∠C = 90° तथा M, AB का मध्य-बिन्दु है।
सिद्ध करना है:
(i) ΔAMC ≅ ΔBMD
(ii) ∠DBC समकोण है
(iii) ΔDBC ≅ ΔACB
(iv) CM = 1/2AB
रचना:
CM को D तक इस प्रकार बढ़ाते हैं कि CM = MD तथा DB को मिलाते हैं।
प्रमाण:
ΔAMC तथा ΔBMD में,
दिया है, AM = BM (M, AB का मध्य-बिन्दु है)
CM = DM (दिया है) =
तथा ∠AMC = ∠BMD (शीर्षाभिमुख कोण)
∴ ΔAMC ≅ ΔBMD (SAS सर्वांगसम अभिगृहीत द्वारा)
⇒ AC = DB [CPCT से] ...(i)
तथा ∠1 = ∠2 [CPCT से]
जोकि एकान्तर कोण है।
∴ BD || CA
अब, BD || CA तथा BC तिर्यक हैं।
∴ ∠ACB + ∠CBD = 180°
⇒ 90° + ∠CBD = 180°
⇒ ∠CBD = 90°
⇒ ∠DBC = 90° [जोकि भाग (ii) है]
ΔDBC तथा ΔACB में,
दिया है,
CB = BC (उभयनिष्ठ)
DB = AC [भाग (i) प्रयोग करने पर]
तथा ∠CBD = ∠BCA (प्रत्येक 90° है)
∴ ΔDBC ≅ ΔACB (SSA सर्वांगसम अभिगृहीत द्वारा) [जोकि भाग (iii) है]
⇒ DC = AB [CPCT से]
