Class 9 Maths Chapter 1 Number Systems Exercise 1.5 NCERT Solutions in Hindi Medium
संख्या पद्धति Ganit NCERT Solutions in Hindi Medium Exercise 1.5
प्रश्न 1. बताइए नीचे दी गई संख्याओं में से कौन-कौन परिमेय हैं और कौन-कौन अपरिमेय है :
(i) 2 - √5
(ii) (3 + √23) - √23
(iii) 2√7/7√7
(iv) 1/√2
(v) 2π
Solution
(i) 2 - √5
एक अपरिमेय संख्या है क्योंकि एक पूर्णांक में से एक अपरिमेय संख्या घटाने पर अपरिमेय संख्या ही प्राप्त होता है |
(ii) दिया है,
अत: यह एक परिमेय संख्या है | क्योंकि हल करने पर हमें 3 एक पूर्णांक प्राप्त होता है |
(iii) दिया है,
अत: यह एक परिमेय संख्या है | क्योंकि 2 और 7 दोनों पूर्णांक है |
(iv) दिया है, 1/√2
यह संख्या एक अपरिमेय संख्या है क्योंकि एक पूर्णांक में एक अपरिमेय संख्या से भाग देने पर एक अपरिमेय संख्या ही प्राप्त होता है |
(v) दिया है, 2π
यह संख्या एक अपरिमेय संख्या है क्योंकि एक पूर्णांक में एक अपरिमेय संख्या से गुणा करने पर एक अपरिमेय संख्या ही प्राप्त होता है |
प्रश्न 2. निम्नलिखित मव्यंजकों में से प्रत्येक व्यंजक को सरल कीजिए :
(i) (3 + √3) (2 + √2)
(ii) (3 + √3) (3 - √3)
(iii) (√5 + √2)2
(iv) (√5 - √2) (√5 + √2)
Solution
Note: ध्यान दे कि यहाँ (3 + √3) और (2 + √2) के बीच गुणा कि क्रिया करना है इसलिए ऐसे प्रश्नों का हल दो प्रकार से किया जा सकता है ।
- गुणा की वैकल्पिक विधि (alternate method) जिसे क्षैतिज विधि भी कहते है|
- सर्वसमिका अर्थात सूत्र (formula) के प्रयोग से
ऐसे प्रश्नों के लिए निम्नलिखित सर्वसमिका का प्रयोग करे |
(i) (a + b) (a - b) = a2 - b2
(ii) (x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab
(iii) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(iv) (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
(i) (3 + √3) (2 + √2)
= 3(2 + √2) + √3(2 + √2)
= 3×2 + 3×√2 + 2√3 + √3×√2
= 6 + 3√2 + 2√3 + √6
(ii) (3 + √3) (3 - √3)
सर्वसमिका द्वारा: (a + b) (a - b) = a2 - b2
= 32 - (√3)2
= 9 - 3
= 6
(iii) (√5 + √2)2
पहली विधि:
सर्वसमिका द्वारा: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
अत: (√5 + √2)2 = (√5)2 + 2.√5.√2 + (√2)2
= 5 + 2√10 + 2
= 7 + 2√10
दूसरी विधि (वैकल्पिक विधि):
(√5 + √2)2 = (√5 + √2) (√5 + √2)
= √5(√5 + √2) + √2(√5 + √2)
= √25 + √10 + √10 + √4
= 5 + √10 + √10 + 2
= 7 + 2√10
(iv) (√5 - √2) (√5 + √2)
सर्वसमिका द्वारा: (a + b) (a - b) = a2 - b2
= (√5)2 - (√2)2
= 5 - 2
= 3
प्रश्न 3. आपको याद होगा कि π को एक वृत्त की परिधि (मान लीजिए c) और उसके व्यास (मान लीजिए d) के अनुपात से परिभाषित किया जाता है, अर्थात π = c/d है | यह इस तथ्य का अन्तर्विरोध करता हुआ प्रतीत होता है कि π एक अपरिमेय संख्या है | इस अन्तर्विरोध का निराकरण आप किस प्रकार करेंगे ?
Solution
π = c/d, दरअसल यह वृत्त के परिधि और व्यास का अनुपात है।
जहाँ, c/d = 22/7, सिर्फ π का अनुमानित मान होता है और जिसका दशमलव मान अनवसानी अनावर्ती प्रसार होता है |
प्रश्न 4. संख्या रेखा पर √9.3 को निरुपित कीजिए |
Solution
(i) एक 9.3 cm का रेखाखंड AB खींचिए और से 1 cm आगे बिंदु C तक बढाइये |
(ii) इसप्रकार बने रेखाखंड AC का लंब समद्विभाजक खींचिए जो AC को बिंदु O पर काटती है |
(iii) AO या CO को वृत्त की त्रिज्या मानकर एक अर्धगोला खींचिए |
(iv) बिंदु B से AC पर लंब खींचिए जो अर्धवृत की परिधि को बिंदु D पर काटती है | BD या BE अभीष्ट √9.3 का संख्या रेखा पर माप है |
प्रश्न 5. निम्नलिखित के हरों का परिमेयकरण कीजिए :
(i) 1/√7
(ii) 1/√7-√6
(iii) 1/√5+√2
(iv) 1/√7-2
Solution
(i) हर का परिमेयकरण करने पर
(ii) हर का परिमेयकरण करने पर
(iii) हर का परिमेयकरण करने पर
(iv) हर का परिमेयकरण करने पर
