Class 9 Maths Chapter 1 Number Systems Exercise 1.5 NCERT Solutions in Hindi Medium

Class 9 Maths Chapter 1 Number Systems Exercise 1.5 NCERT Solutions in Hindi Medium

संख्या पद्धति Ganit NCERT Solutions in Hindi Medium Exercise 1.5

प्रश्न 1. बताइए नीचे दी गई संख्याओं में से कौन-कौन परिमेय हैं और कौन-कौन अपरिमेय है :

(i) 2 - √5

(ii) (3 + √23) - √23

(iii) 2√7/7√7

(iv) 1/√2

(v) 2π

Solution

(i) 2 - √5

एक अपरिमेय संख्या है क्योंकि एक पूर्णांक में से एक अपरिमेय संख्या घटाने पर अपरिमेय संख्या ही प्राप्त होता है |


(ii) दिया है,

अत: यह एक परिमेय संख्या है | क्योंकि हल करने पर हमें 3 एक पूर्णांक प्राप्त होता है |


(iii) दिया है,

अत: यह एक परिमेय संख्या है | क्योंकि 2 और 7 दोनों पूर्णांक है |


(iv) दिया है, 1/√2

यह संख्या एक अपरिमेय संख्या है क्योंकि एक पूर्णांक में एक अपरिमेय संख्या से भाग देने पर एक अपरिमेय संख्या ही प्राप्त होता है |


(v) दिया है, 2π

यह संख्या एक अपरिमेय संख्या है क्योंकि एक पूर्णांक में एक अपरिमेय संख्या से गुणा करने पर एक अपरिमेय संख्या ही प्राप्त होता है |


प्रश्न 2. निम्नलिखित मव्यंजकों में से प्रत्येक व्यंजक को सरल कीजिए :

(i) (3 + √3) (2 + √2)

(ii) (3 + √3) (3 - √3)

(iii) (√5 + √2)2

(iv) (√5 - √2) (√5 + √2)

Solution

Note: ध्यान दे कि यहाँ (3 + √3) और (2 + √2) के बीच गुणा कि क्रिया करना है इसलिए ऐसे प्रश्नों का हल दो प्रकार से किया जा सकता है ।

  1. गुणा की वैकल्पिक विधि (alternate method) जिसे क्षैतिज विधि भी कहते है|
  2. सर्वसमिका अर्थात सूत्र (formula) के प्रयोग से
    ऐसे प्रश्नों के लिए निम्नलिखित सर्वसमिका का प्रयोग करे |
    (i) (a + b) (a - b) = a2 - b2
    (ii) (x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab
    (iii) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
    (iv) (a - b)2 = a2 - 2ab + b2

(i) (3 + √3) (2 + √2)

= 3(2 + √2) + √3(2 + √2)

= 3×2 + 3×√2 + 2√3 + √3×√2

= 6 + 3√2 + 2√3 + √6


(ii) (3 + √3) (3 - √3)

सर्वसमिका द्वारा: (a + b) (a - b) = a2 - b2

32 - (√3)2

= 9 - 3

= 6


(iii) (√5 + √2)2

पहली विधि:

सर्वसमिका द्वारा: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

अत: (√5 + √2)2 = (√5)2 + 2.√5.√2 + (√2)2

= 5 + 2√10 + 2

= 7 + 2√10

दूसरी विधि (वैकल्पिक विधि):

(√5 + √2)2 = (√5 + √2) (√5 + √2)

= √5(√5 + √2) + √2(√5 + √2)

= √25 + √10 + √10 + √4

= 5 + √10 + √10 + 2

= 7 + 2√10


(iv) (√5 - √2) (√5 + √2)

सर्वसमिका द्वारा: (a + b) (a - b) = a2 - b2

=  (√5)2 - (√2)2

= 5 - 2

= 3


प्रश्न 3. आपको याद होगा कि π को एक वृत्त की परिधि (मान लीजिए c) और उसके व्यास (मान लीजिए d) के अनुपात से परिभाषित किया जाता है, अर्थात π = c/d है | यह इस तथ्य का अन्तर्विरोध करता हुआ प्रतीत होता है कि π एक अपरिमेय संख्या है | इस अन्तर्विरोध का निराकरण आप किस प्रकार करेंगे ?

Solution

π = c/d, दरअसल यह वृत्त के परिधि और व्यास का अनुपात है।

जहाँ, c/d = 22/7, सिर्फ π का अनुमानित मान होता है और जिसका दशमलव मान अनवसानी अनावर्ती प्रसार होता है |


प्रश्न 4. संख्या रेखा पर √9.3 को निरुपित कीजिए |

Solution

(i) एक 9.3 cm का रेखाखंड AB खींचिए और से 1 cm आगे बिंदु C तक बढाइये |

(ii) इसप्रकार बने रेखाखंड AC का लंब समद्विभाजक खींचिए जो AC को बिंदु O पर काटती है |

(iii) AO या CO को वृत्त की त्रिज्या मानकर एक अर्धगोला खींचिए | 

(iv) बिंदु B से AC पर लंब खींचिए जो अर्धवृत की परिधि को बिंदु D पर काटती है | BD या BE अभीष्ट √9.3 का संख्या रेखा पर माप है | 


प्रश्न 5. निम्नलिखित के हरों का परिमेयकरण कीजिए :

(i) 1/√7

(ii) 1/√7-√6

(iii) 1/√5+√2

(iv) 1/√7-2

Solution

(i) हर का परिमेयकरण करने पर


(ii) हर का परिमेयकरण करने पर


(iii) हर का परिमेयकरण करने पर


(iv) हर का परिमेयकरण करने पर

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