रेखाएँ और कोण Ganit NCERT Solutions in Hindi Medium Exercise 6.1

प्रश्न 1. आकृति. 6.13 में, रेखाएँ AB और CD बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती हैं | यदि  ∠AOC + ∠ BOE = 70° है और ∠BOD = 40° है तो ∠BOE और प्रतिवर्ती ∠COE ज्ञात कीजिए |

Solution

यहाँ ∠AOC तथा ∠BOD शीर्षाभिमुख कोण हैं।

∴ ∠AOC = ∠BOD 

⇒ ∠AOC = 40° [∵ ∠BOD = 40° (दिया है)] ...(i)

⇒ ∠AOC + ∠BOE = 70° (दिया है)

⇒ 40° + ∠BOE = 70° [समी (i) से]

⇒ ∠BOE = 30°

तथा, ∠AOC + ∠COE + ∠BOE = 180° (रेखीय युग्म अभिगृहीत)

⇒ 40° + ∠COE + 30° = 180°

⇒ ∠COE = 110°

अब, ∠COE + प्रतिवर्ती ∠COE = 360° (एक बिन्दु पर कोण)

⇒ 110° + प्रतिवर्ती ∠COE = 360°

⇒ प्रतिवर्ती ∠COE = 250°

प्रश्न 2. आकृति 6.14 में, रेखाएँ  XY और MN बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती हैं | यदि ∠POY = 90° और a : b = 2 : 3 है तो c ज्ञात कीजिए |

Solution

दिया है, ∠POY = 90°

∠POY + ∠POX = 180° (रेखीय युग्म अभिगृहीत)

⇒ ∠POX = 90°

⇒ a + b = 90° ...(i)

तथा, a : b = 2 : 3 (दिया है)

माना, a = 2k, b = 3k

अब, समी (i) से,

2k + 3k = 90°

⇒ 5k = 90°

⇒ k = 18°

∴ a = 2×18° = 36°

तथा, b = 3×18° = 54°

अब, ∠MOX + ∠XON = 180° (रेखीय युग्म अभिगृहीत)

b + c = 180°

⇒ 54° + c = 180°

∴ c = 126°

प्रश्न 3. आकृति 6.15 में, ∠PQR = ∠PRQ है, सिद्ध कीजिए कि ∠PQS = ∠PRT है | 

Solution

∠PQS + ∠PQR = 180° (रेखीय युग्म अभिगृहीत) ...(i)

तथा, ∠PRT + ∠PRQ = 180° (रेखीय युग्म अभिगृहीत) ...(ii)

समी (i) तथा (ii) से,

∠PQS + ∠PQR = ∠PRT + ∠PRQ

⇒ ∠PQS + ∠PRQ =∠PRT + ∠PRQ (दिया है, ∠PQR = ∠PRQ)

⇒ ∠PQS = ∠PRT

प्रश्न 4. आकृति 6.16 में, यदि x + y = w + y है, तो सिद्ध कीजिए कि AOB एक सरल रेखा है|

Solution

∵ x + y + w + z = 360° (एक बिन्दु पर कोण)

x + y = w + z  (दिया है) ...(i)

∴ x + y + x + y = 360°

2 (x + y) = 360° [समी (i) से]

⇒ x + y = 180° (रेखीय युग्म अभिगृहीत)

अतः AOB एक सरल रेखा है।

प्रश्न 5. आकृति 6.17 में, POQ एक रेखा है | किरण OR रेखा PQ पर लम्ब है | किरणों OP और OR के बीच में OS एक अन्य किरण है | सिद्ध कीजिए : 

∠ROS = 1/2 (∠QOS - ∠POS)

Solution

दिया है,

∠POR = ∠ROQ = 90° (∵ दिया है, OR रेखा PQ पर लम्ब है)

⇒ ∠POS + ∠ROS = 90°

⇒ ∠ROS = 90° – ∠POS

∠ROS दोनों पक्षों में जोड़ने पर,

2 ∠ROS = 90° – ∠POS + ∠ROS

⇒ 2 ∠ROS = (90° + ∠ROS ) - ∠POS

⇒ 2 ∠ROS = ∠QOS - ∠POS (∵ ∠QOS = ∠ROQ + ∠ROS = 90° + ∠ROS)

⇒ ∠ROS = 1/2(∠QOS – ∠POS)

प्रश्न 6. यह दिया है कि ∠XYZ = 64° है और XY को बिंदु P तक बढाया गया है | दी हुई सुचना से एक आकृति खींचिए | यदि किरण YQ, ∠ZYP को समद्विभाजित करती है, तो ∠XYQ और प्रतिवर्ती  ∠QYP के मान ज्ञात कीजिए |

Solution

यहाँ YQ, ∠ZYP को समद्विभाजित करता है।

दिया है,

∠XYZ = 64° ...(ii)

∵ ∠XYZ + ∠ZYQ + ∠QYP = 180°

⇒ 64° + ∠ZYQ + ∠ZYQ = 180° (रेखीय युग्म अभिगृहीत)

⇒ 2 ∠ZYQ = 180° - 64° [समी (i) तथा (i) से]

⇒ ∠ZYQ = 58°

∴ ∠XYQ = ∠XYZ + ∠ZYQ = 64° + 58° = 122°

अब, ∠QYP + प्रतिवर्ती ∠QYP = 360°

⇒ 58° + प्रतिवर्ती ∠QYP = 360°

⇒ प्रतिवर्ती ∠QYP = 302°