Class 9 Maths Chapter 2 Polynomials Exercise 2.4 NCERT Solutions in Hindi Medium
बहुपद Ganit NCERT Solutions in Hindi Medium Exercise 2.4
प्रश्न 1. बताइए कि निम्नलिखित बहुपदों में से किस बहुपद का एक गुणनखंड x + 1 है |
(i) x3 + x2 + x + 1
(ii) x4 + x3 + x2 + x + 1
(iii) x4 + 3x3 + 3x2 + x + 1
(iv) x3 - x3 - (2 + √2)x + √2
Solution
(i) p(x) = x3 + x2 + x + 1
माना g(x) = x + 1 = 0
⇒ x = - 1
अब गुणनखण्ड प्रमेय के प्रयोग से,
p(x) = 0 यदि p(x) का शुन्यक x = -1 है |
अत: p(x) में x = -1 रखने पर
p(x) = x3 + x2 + x + 1
p(-1) = (-1)3 + (-1)2 + (-1) + 1
= -1 + 1 - 1 + 1
= 0
चूँकि p(-1) = 0 इसलिए p(x) का शुन्यक -1 है और p(x) का एक गुणनखंड x + 1 है |
(ii) p(x) = x4 + x3 + x2 + x + 1
माना g(x) = x + 1 = 0
⇒ x = - 1
अब गुणनखण्ड प्रमेय के प्रयोग से
p(x) = 0 यदि p(x) का शुन्यक x = -1 है |
अत: p(x) में x = -1 रखने पर
p(x) = x4 + x3 + x2 + x + 1
p(-1) = (-1)4 + (-1)3 + (-1)2 + (-1) + 1
= 1 - 1 + 1 - 1 + 1
= 1
चूँकि p(-1) = 1 इसलिए p(x) का शुन्यक -1 नहीं है| इसलिए गुणनखंड प्रमेय से p(x) का एक गुणनखंड x + 1 नहीं है |
(iii) p(x) = x4 + 3x3 + 3x2 + x + 1
माना g(x) = x + 1 = 0
⇒ x = - 1
अब गुणनखण्ड प्रमेय के प्रयोग से
p(x) = 0 यदि p(x) का शुन्यक x = -1 है |
अत: p(x) में x = -1 रखने पर
p(x) = x4 + 3x3 + 3x2 + x + 1
p(-1) = (-1)4 + 3(-1)3 + 3(-1)2 + (-1) + 1
= 1 - 3 + 3 - 1 + 1
= 1
चूँकि p(-1) = 1 इसलिए p(x) का शुन्यक -1 नहीं है| अत: गुणनखंड प्रमेय से p(x) का एक गुणनखंड x + 1 नहीं है|
(iv) x3 - x3 - (2 + √2)x + √2
माना g(x) = x + 1 = 0
⇒ x = - 1
अब गुणनखण्ड प्रमेय के प्रयोग से
p(x) = 0 यदि p(x) का शुन्यक x = -1 है |
अत: p(x) में x = -1 रखने पर
p(x) = x3 - x2 - (2 + √2)x + √2
p(-1) = (-1)3 - (-1)2 - (2 + √2)(-1) + √2
= -1 - 1 + 2 + √2 + √2
= -2 + 2 + 2√2
= 2√2
चूँकि p(-1) = 2√2 है |
इसलिए p(x) का शुन्यक -1 नहीं है| अत: गुणनखंड प्रमेय से p(x) का एक गुणनखंड x + 1 नहीं है |
प्रश्न 2. गुणनखंड प्रमेय लागु करके बताइए कि निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में g(x), p(x) का एक गुणनखंड है या नहीं :
(i) p(x) = 2x3 + x2 – 2x – 1, g(x) = x + 1
(ii) p(x) = x3 + 3x2 + 3x + 1, g(x) = x + 2
(iii) p(x) = x3 – 4x2 + x + 6, g(x) = x – 3
Solution
(i) p(x) = 2x3 + x2 – 2x – 1, g(x) = x + 1
g(x) का शुन्यक, x + 1 = 0
अत: x = - 1
गुणनखंड प्रमेय लागु करने पर यदि p(-1) = 0, तो गुणनखंड है अथवा नहीं |
अत: p(x) = 2x3 + x2 – 2x – 1 दिया है |
अब, p(-1) = 2(-1)3 + (-1)2 – 2(-1) – 1
= 2 (-1) + 1 + 2 - 1
= - 2 + 1 + 2 - 1
= 0
चूँकि p(-1) = 0 है इसलिए p(x) का एक शुन्यक -1 है| अत: गुणनखंड प्रमेय से p(x) का एक गुणनखंड x + 1 है |
(ii) p(x) = x3 + 3x2 + 3x + 1, g(x) = x + 2
g(x) का शुन्यक, x + 2 = 0
अत: x = - 2
गुणनखंड प्रमेय लागु करने पर यदि p(-2) = 0, तो गुणनखंड है अथवा नहीं |
अत: p(x) = x3 + 3x2 + 3x + 1 दिया है |
अब, p(-2) = (-2)3 + 3(-2)2 + 3(-2) + 1
= -8 + 12 - 6 + 1
= 13 - 14
= -1
चूँकि p(-2) = -1 है इसलिए p(x) का एक शुन्यक -2 नहीं है| अत: गुणनखंड प्रमेय से p(x) का एक गुणनखंड x + 2 भी नहीं है |
(iii) p(x) = x3 – 4x2 + x + 6, g(x) = x – 3
g(x) का शुन्यक, x - 3 = 0
अत: x = 3
गुणनखंड प्रमेय लागु करने पर यदि p(3) = 0, तो गुणनखंड है अथवा नहीं |
अत: p(x) = x3 – 4x2 + x + 6 दिया है |
अब, p(3) = (3)3 - 4(3)2 + 3 + 6
= 27 - 36 + 3 + 6
= 36 - 36
= 0
चूँकि p(3) = 0 है इसलिए p(x) का एक शुन्यक 3 है| अत: गुणनखंड प्रमेय से p(x) का एक गुणनखंड x - 3 है |
प्रश्न 3. k का मान ज्ञात कीजिए जबकि निम्नलिखित स्थितियों में से प्रत्येक स्थिति में (x - 1), p(x) का एक गुणनखंड हो :
(i) p(x) = x2 + x + k
(ii) p(x) = 2x2 + kx + √2
(iii) p(x) = kx2 – √2x + 1
(iv) p(x) = kx2 – 3x + k
Solution
(i) p(x) = x2 + x + k
p(x) का एक गुणनखंड x - 1 है |
इसलिए, x - 1 = 0
⇒ x = 1
अत: p(x) का शुन्यक 1 है |
इसलिए, p(1) = 0
अब p(x) = x2 + x + k = 0
p(1) = (1)2 + (1) + k = 0
⇒ 1 + 1 + k = 0
⇒ 2 + k = 0
⇒ k = - 2
(ii) p(x) = 2x2 + kx + √2
चूँकि p(x) का एक गुणनखंड x - 1 है |
इसलिए, x - 1 = 0
⇒ x = 1
अत: p(x) का शुन्यक 1 है |
इसलिए, p(1) = 0
अब p(x) = 2x2 + kx + √2 = 0
p(1) = 2(1)2 + k(1) + √2 = 0
⇒ 2 + k + √2 = 0
⇒ k = - 2 - √2
⇒ k = - (2 + √2)
(iii) p(x) = kx2 - √2x + 1
चूँकि p(x) का एक गुणनखंड x - 1है |
इसलिए, x - 1 = 0
⇒ x = 1
अत: p(x) का शुन्यक 1 है |
इसलिए, p(1) = 0
अब p(x) = kx2 – √2x + 1 = 0
p(1) = k(1)2 - √2(1) + 1 = 0
⇒ k - √2 + 1 = 0
⇒ k = √2 - 1
(iv) p(x) = kx2 – 3x + k
चूँकि p(x) का एक गुणनखंड x - 1 है |
इसलिए, x - 1 = 0
⇒ x = 1
अत: p(x) का शुन्यक 1 है |
इसलिए, p(1) = 0
अब, p(x) = kx2 – 3x + k = 0
p(1) = k(1)2 - 3(1) + k = 0
⇒ k - 3 + k = 0
⇒ 2k - 3 = 0
⇒ 2k = 3
⇒ k = 3/2
प्रश्न 4. गुणनखंड ज्ञात कीजिए :
(i) 12x2 – 7x + 1
(ii) 2x2 + 7x + 3
(iii) 6x2 + 5x – 6
(iv) 3x2 – x – 4
Solution
(i) 12x2 – 7x + 1
= 12x2 - 3x - 4x + 1
= 3x(4x - 1) - 1(4x - 1)
= (4x - 1) (3x - 1)
(ii) 2x2 + 7x + 3
= 2x2 + 6x + x + 3
= 2x(x + 3) + 1(x + 3)
= (x + 3) (2x + 1)
(iii) 6x2 + 5x – 6
⇒ 6x2 + 9x - 4x - 6
⇒ 3x(2x + 3) - 2(2x + 3)
⇒ (2x + 3) (3x - 2)
(iv) 3x2 – x – 4
⇒ 3x2 - 4x + 3x - 4
⇒ x(3x - 4) + 1(3x - 4)
⇒ (3x - 4) (x + 1)
प्रश्न 5. गुणनखंड ज्ञात कीजिए :
(i) x3 – 2x2 – x + 2
(ii) x3 – 3x2 – 9x – 5
(iii) x3 + 13x2 + 32x + 20
(iv) 2y3 + y2 – 2y – 1
Solution
(i) x3 – 2x2 – x + 2
बहुपद का संभावित शुन्यक हैं: ±1 और ±2
अत: बहुपद x3 – 2x2 – x + 2 में x = 1 रखने पर,
p(x) = (1)3 - 2(1)2 - (1) + 2
= 1 - 2 - 1 + 2
= 0
चूँकि p(x) = 0 है, अत: p(x) का शुन्यक 1 है| इसलिए p(x) का एक गुणनखंड x - 1 है |
पहली विधि : x - 1 से x3 – 2x2 – x + 2 में भाग देने पर
अत: x3 – 2x2 – x + 2 = (x - 1) (x2 - x - 2) [चूँकि p(x) = g(x) × q(x)]
= (x - 1) (x2 - 2x + x - 2)
= (x - 1) [x(x - 2) + 1(x - 2)]
= (x - 1) (x - 2) (x + 1)
नोट: चूँकि यह त्रिघात बहुपद है इसलिए इसके तीन शुन्यक होंगे और तीन गुणनखंड होंगे |
दूसरी विधि : हम यहाँ पर x - 1 से भाग की लंबी प्रक्रिया न अपनाकर गुणनखंड विधि से अन्य गुणनखंड प्राप्त कर सकते हैं | चूँकि एक गुणनखंड x - 1 प्राप्त है |
x3 – 2x2 – x + 2 = x2(x -1) - x2 - x + 2
= x2(x -1) - x(x - 1) - 2x + 2
= x2(x -1) - x(x - 1) - 2(x - 1)
= (x - 1) (x2 - x - 2)
= (x - 1) (x2 - 2x + x - 2)
= (x - 1) [x(x - 2) + 1(x - 2)]
= (x - 1) (x - 2) (x + 1)
तीसरी विधि : हमें बहुपद का संभावित शुन्यक ±1 और ±2 ज्ञात है :
p(x) में x = 1, - 1, 2 और - 2 रखने पर
p(1) = 0 है | अत: x - 1 एक गुणनखंड है |
अब p(-1) = x3 – 2x2 – x + 2
= (-1)3 - 2(-1)2 -(-1) + 2
= -1 - 2 + 1 + 2
= 0
अत: p(-1) = 0 है अत: x + 1 एक गुणनखंड है |
अब p(2) = x3 – 2x2 – x + 2
= (2)3 - 2(2)2 -(2) + 2
= 8 - 8 - 2 + 2
= 0
p(2) = 0 है|
अत: p(x) का एक गुणनखंड x - 2 है |
अब p(-2) = x3 – 2x2 – x + 2
= (-2)3 - 2(-2)2 -(-2) + 2
= -8 - 8 + 2 + 2
= -16 + 4 = -12
p(-2) ≠ 0
अत: p(x) का शुन्यक नहीं -2 है |
अत: x3 – 2x2 – x + 2 के गुणनखंड है (x - 1) (x + 1) (x - 2)
(ii) x3 – 3x2 – 9x – 5
बहुपद का संभावित शुन्यक ± 1 और ±5 है |
बहुपद में x = -1 रखने पर
p(-1) = x3 – 3x2 – 9x – 5
= (-1)3 – 3(-1)2 – 9(-1) – 5
= -1 – 3 + 9 – 5
= 9 – 9
= 0
अत: p(x) का शुन्यक x = -1 है| इसलिए x + 1 एक गुणनखंड है |
x3 – 3x2 – 9x – 5 = x2(x + 1) - 4x2 - 9x - 5
= x2(x + 1) - 4x(x + 1) - 5x - 5
= x2(x + 1) - 4x(x + 1) - 5(x + 1)
= (x + 1) (x2 - 4x - 5)
= (x + 1) (x2 - 5x + x - 5)
= (x + 1) [x(x - 5) +1(x - 5)]
= (x + 1) (x - 5) (x + 1)
अत: त्रिघात बहुपद के गुणनखंड (x + 1), (x - 5) और (x + 1) है |
(iii) x3 + 13x2 + 32x + 20
बहुपद का संभावित शुन्यक ±1, ±2, ±4, ±5, ±10 और ±20 हैं |
बहुपद में x = - 1 रखने पर
p(x) = x3 + 13x2 + 32x + 20
= (-1)3 + 13(-1)2 + 32(-1) + 20
= -1 + 13 + - 32 + 20
= 33 - 33
= 0
चूँकि p(-1) = 0 है अत: x + 1 बहुपद का एक गुणनखंड है |
x3 + 13x2 + 32x + 20 = x2(x + 1) + 12x2 + 32x + 20
= x2(x + 1) + 12x(x + 1) + 20x + 20
= x2(x + 1) + 12x(x + 1) + 20(x + 1)
= (x + 1) (x2 + 12x + 20)
= (x + 1) (x2 + 10x + 2x + 20)
= (x + 1) [(x(x + 10) + 2(x + 10)]
= (x + 1) (x + 10) (x + 2)
अत: त्रिघात बहुपद के गुणनखंड (x + 1), (x + 10) और (x + 2) है |
(iv) 2y3 + y2 – 2y – 1
= y2(2y + 1) -1(2y + 1)
= (y2 - 1) (2y + 1)
= (y + 1) ( y - 1) (2y + 1)
बहुपद के गुणनखंड (y + 1), ( y - 1) और (2y + 1)हैं |