NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 12 वृतों से सम्बंधित क्षेत्रफल 12.3 Hindi Medium

Class 10 Maths Chapter 12 Area Related to Circles Exercise 12.3 NCERT Solutions in Hindi Medium

वृतों से सम्बंधित क्षेत्रफल Ganit NCERT Solutions in Hindi Medium Exercise 12.3

जब तक अन्यथा नहीं कहा जाए π = 22/7 का प्रयोग कीजिए |

प्रश्न 1. आकृति 12.19 में, छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि PQ = 24 cm, PR = 7 cm तथा O वृत्त का केंद्र है ।

Solution

दिया है, PQ = 24 सेमी, PR = 7 सेमी

हम जानते हैं कि, अर्द्धवृत्त में स्थित कोण समकोण होता है।

यहाँ, ∠RPQ = 90°

समकोण ∆RPQ में, पाइथागोरस प्रमेय से

RQ² = PR²  + PQ² 

⇒ RQ²  = 7²  + 24² 

⇒ RQ²  = 49 + 576

⇒ RQ² = 625

⇒ RQ = 25 सेमी

प्रश्न 2. आकृति 12.20 में, छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि केंद्र O वाले दोनों सकेंद्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः 7 cm और 14 cm हैं तथा ∠AOC = 40^o है |

Solution

दिया है, OB = 7 सेमी और OA = 14 सेमी

.: अभीष्ट छायांकित भाग का क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड OAC का क्षेत्रफल - त्रिज्यखंड OBD का क्षेत्रफल

प्रश्न 3. आकृति 12.21 में छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि ABCD भुजा 14 cm का एक वर्ग तथा APD और BPC दो अर्धवृत्त हैं ।

Solution

दिया है, वर्ग की भुजा = 14 सेमी

APD और BPC अर्द्धवृत्त है,

∴ त्रिज्या = 14/2 = 7 सेमी

अब, अर्द्धवृत्त APD का क्षेत्रफल = अर्द्धवृत्त BPC का क्षेत्रफल

और वर्ग का क्षेत्रफल = (भुजा)² = (14)² = 196 सेमी²

∴ छायांकित भाग का क्षेत्रफल = वर्ग का क्षेत्रफल - (अर्द्धवृत्त APD का क्षेत्रफल + अर्द्धवृत्त BPC का क्षेत्रफल)

= 196 – (77 + 77)

= 196 – 154

= 42 सेमी²

प्रश्न 4. आकृति 12.22 में, छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जहाँ भुजा 12 cm वाले एक समबाहु त्रिभुज के शीर्ष O को केंद्र मान कर 6 सेमी त्रिज्या वाला एक वृत्तीय चाप खींचा गया है ।

Solution

दिया है, वृत्त की त्रिज्या = 6 सेमी

∵ ΔOAB एक समबाहु त्रिभुज है।

∴ ∠O = ∠A = ∠B = 60°

∴ त्रिभुज के बाहर के वृत्त का क्षेत्रफल = वृत्त का क्षेत्रफल - त्रिज्यखंड OPQO का क्षेत्रफल

∴ छायांकित भाग का कुल क्षेत्रफल = समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल + त्रिभुज के बाहर के वृत्त का क्षेत्रफल

प्रश्न 5. भुजा 4 cm वाले एक वर्ग के प्रत्येक कोने से 1 cm त्रिज्या वाले वृत्त का एक चतुर्थांश काटा गया है तथा बीच में 2 cm व्यास का एक वृत्त भी काटा गया है, जैसाकि आकृति 12.23 में दर्शाया गया है । वर्ग के शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए ।

Solution

दिया है, वर्ग की भुजा = 4 सेमी

चतुर्थांश की त्रिज्या, r₁ = 1 सेमी

और वृत्त की त्रिज्या, r₂ = 2/2 = 1 सेमी

और वर्ग ABCD का क्षेत्रफल = (भुजा)² = (4)² = 16 सेमी²

∴ छायांकित भाग का क्षेत्रफल = वर्ग का क्षेत्रफल - (चारों चतुर्थांशों का क्षेत्रफल + वृत्त का क्षेत्रफल)

प्रश्न 6. एक वृत्ताकार मेज़पोश जिसकी त्रिज्या है में एक समबाहु त्रिभुज छोड़ते हुए एक डिज़ाइन बना हुआ है, जैसाकि आकृति 12.24 में दिखाया गया है | इस छायांकित डिज़ाइन का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए |

Solution

दिया है, वृत्त की त्रिज्या = 32 सेमी

माना, समबाहु ∆ABC की भुजा = a सेमी

और, त्रिभुज की ऊँचाई = h सेमी

हम जानते हैं कि एक समबाहु त्रिभुज में, केंद्रक और परिकेंद्र संपाती होते हैं।

∴ OA = 2/3 h सेमी (जो वृत्त की त्रिज्या के समान है।)

⇒ 32 = 2/3 h  सेमी

⇒ h = 48 सेमी

यहाँ, AD ⊥ BC खींचिए जो BC को समद्विभाजित करता है।

समकोण ∆ABD में, पाइथागोरस प्रमेय से

AB² = BD² + AD²

प्रश्न 7. आकृति 12.25 में, ABCD भुजा 14 cm वाला एक वर्ग है | A,B,C और D को केंद्र मानकर, चार वृत्त इस प्रकार खींचे गए हैं कि प्रत्येक वृत्त तीन शेष वृत्तों में से दो वृत्तों को बाह्य रूप से स्पर्श करता है | छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए |

Solution

दिया है, वर्ग की भुजा = 14 सेमी

अर्थात्, AB = BC = CD = DA = 14 सेमी

∴ वृत्त की त्रिज्या = 14/2 = 7 सेमी

अब, वर्ग का क्षेत्रफल = (भुजा)²

= (14)²

= 196 सेमी²

∴ छायांकित भाग का क्षेत्रफल = वर्ग का क्षेत्रफल - चार चतुर्थांशों का क्षेत्रफल

= 196 – 154

= 42 सेमी²

प्रश्न 8. आकृति 12.26 एक दौड़ने का पथ ( racing track) दर्शाती है, जिसके बाएँ और दाएँ सिरे अर्धवृत्ताकार हैं|

दोनों आंतरिक समांतर रेखाखंड़ों के बीच की दूरी 60 m है तथा इनमें से प्रत्येक रेखाखंड 106 m लंबा है | यदि यह पथ 10 m चौड़ा है, तो ज्ञात कीजिए |
(i) पथ के आंतरिक किनारों के अनुदिश एक पूरा चक्कर लगाने में चली गई दूरी
(ii) पथ क्षेत्रफल

Solution

दिया है, पथ की लंबाई = 106 मी

पथ की चौड़ाई = 10 मी

(i) पथ के आंतरिक किनारों के अनुदिश एक पूरा चक्कर लगाने में चली दूरी

(ii) पथ का क्षेत्रफल = पथ का बाहरी क्षेत्रफल - पथ का आंतरिक क्षेत्रफल

= ABCD का क्षेत्रफल + 2×अर्द्धवृत्त ATDका क्षेत्रफल - (PQRS का क्षेत्रफल + 2×अर्द्धवृत्त POR का क्षेत्रफल)

प्रश्न 9. आकृति 12.27 में, AB और CD केंद्र O वाले एक वृत्त के दो परस्पर लंब व्यास हैं तथा OD छोटे वृत्त का व्यास है | यदि OA = 7 cm है, तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए |

Solution

दिया है,

OA = 7 सेमी

OD = 7 सेमी

छोटे वृत्त का व्यास, OD = 7 सेमी

∴ त्रिज्या, r = 7/2 सेमी

अब,छोटे वृत्त का क्षेत्रफल = 𝜋r²

∴ वृत्तखंड AC और BC का क्षेत्रफल = अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल - ∆ABC का क्षेत्रफल

= 77 – 49 = 28 सेमी²

∴ छायांकित भाग का कुल क्षेत्रफल = छोटे वृत्त का क्षेत्रफल + वृत्तखंड AC और BC का क्षेत्रफल

प्रश्न 10. दी गई आकृति में, एक समबाहु ∆ABC का क्षेत्रफल 17320.5 सेमी² है। इस त्रिभुज के प्रत्येक शीर्ष को केंद्र मानकर त्रिभुज की भुजा के आधे के बराबर की त्रिज्या लेकर एक वृत्त खींचा जाता है । छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (𝜋 = 3.14 और √3 = 1.73205 लीजिए।)

Solution

माना समबाहु त्रिभुज की भुजा a है।

∴ समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = √3/4 (भुजा)²

∴ ∆ABC एक समबाहु त्रिभुज है।

∠A = ∠B = ∠C = 60°

यहाँ, AB = a = 200 सेमी

∴ तीनों त्रिज्यखंडों का क्षेत्रफल = 3×एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल

= 3 × 5233.33 = 15700 सेमी²

छायांकित भाग का क्षेत्रफल = समबाहु ∆ABC का क्षेत्रफल - तीनों त्रिज्यखंडों का क्षेत्रफल

= 17320.5 - 15700 = 1620.5 सेमी²

प्रश्न 11. दी गई आकृति में, एक वर्गाकार रूमाल पर, नौ वृत्ताकार डिजाइन बने हैं, जिनमें से प्रत्येक की त्रिज्या 7 सेमी है। रूमाल के शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए ।

Solution

दिया है, प्रत्येक वृत्त की त्रिज्या, r = 7 सेमी

∴ वृत्त का व्यास, d = 2×r

= 2×7 = 14 सेमी (∴  व्यास = 2×त्रिज्या)

दिए गए चित्र में, तीन क्षैतिज वृत्त एक-दूसरे को परस्पर स्पर्श करते हैं।

वर्ग की लंबाई = 3×एक वृत्त का व्यास

= 3×14 = 42 सेमी

अब, एक वृत्त का क्षेत्रफल = 𝜋r²

∴ 9 वृत्तों का क्षेत्रफल = 9×154 = 1386 वर्ग सेमी

अब, वर्ग ABCD का क्षेत्रफल = (भुजा)²

= (42)² = 1764 सेमी

∴ रूमाल के शेष भाग का क्षेत्रफल = वर्ग का क्षेत्रफल - 9 वृत्तों का क्षेत्रफल

= 1764 - 1386

= 378 वर्ग सेमी

प्रश्न 12. दी गई आकृति में, OACB केंद्र 0 और त्रिज्या 3.5 सेमी वाले एक वृत्त का चतुर्थांश है। यदि OD = 2 सेमी है, तो निम्नलिखित के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

(i) चतुर्थांश OACB

(ii) छायांकित भाग।

Solution

दिया है, चतुर्थांश की त्रिज्या, r = 3.5 सेमी

∴ छायांकित भाग का क्षेत्रफल = चतुर्थांश OBCA का क्षेत्रफल - ∆OBD का क्षेत्रफल

= 9.625 – 3.5

= 6.125 सेमी)²

= 49/8 सेमी²

प्रश्न 13. दी गई आकृति में, एक चतुर्थांश OPBQ के अंतर्गत एक वर्ग OABC बना हुआ है। यदि OA = 20 सेमी है, तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए । (π = 3.14 लीजिए।)

Solution

∵ OABC एक वर्ग है।

∴ वर्ग का विकर्ण = √2 ×भुजा

= √2 × 20

= 20√2 सेमी (∵ OA भुजा = 20 सेमी)

वृत्त की त्रिज्या, r = 20√2 सेमी

अब, वर्ग का क्षेत्रफल = (भुजा)²

= (OA)²

= (20)²

= 400 सेमी²

∴ छायांकित भाग का क्षेत्रफल = चतुर्थांश का क्षेत्रफल - वर्ग का क्षेत्रफल

= 628 - 400

= 228 सेमी²

प्रश्न 14. दी गई आकृति में, AB और CD केंद्र O तथा त्रिज्याओं 21 सेमी और 7 सेमी वाले दो संकेंद्रीय वृत्तों के क्रमशः दो चाप हैं। यदि ∠AOB = 30° है, तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए ।

Solution

दिया है, ∠COD = 30°, r₁ = OC = 7 सेमी तथा r₂ = OB = 21 सेमी

∴ छायांकित भाग का क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड OAB का क्षेत्रफल - त्रिज्यखंड COD का क्षेत्रफल

= 115.5 - 12.83

= 102.67 सेमी²

= 308/3 सेमी²

प्रश्न 15. दी गई आकृति में, ABC त्रिज्या 14 सेमी वाले एक वृत्त का चतुर्थांश है तथा BC को व्यास मानकर एक अर्द्धवृत्त खींचा गया है। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Solution

दिया है, चतुर्थांश की त्रिज्या, r = AC = AB = 14 सेमी

समकोण ∆ABC में, पाइथागोरस प्रमेय से

∴ छायांकित भाग का क्षेत्रफल = अर्द्धवृत्त BCE का क्षेत्रफल - (चतुर्थांश ABCD का क्षेत्रफल - ∆ABC का क्षेत्रफल)

= 154 - (154 - 98)

=154 - 56

= 98 सेमी²

प्रश्न 16. दी गई आकृति में, छायांकित डिजाइन का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जो 8 सेमी त्रिज्याओं वाले दो वृत्तों के चतुर्थांशों के बीच उभयनिष्ठ है।

Solution

प्रथम छायांकित भाग AEC का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं।

त्रिज्यखंड BAEC का क्षेत्रफल = चतुर्थांश का क्षेत्रफल

अब, समकोण ∆ABC का क्षेत्रफल = 1/2 × AB × BC

= 1/2 × 8 × 8

= 32 सेमी²

∴ छायांकित भाग AEC का क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड BAEC का क्षेत्रफल - ∆ABC का क्षेत्रफल

.. अभीष्ट छायांकित भाग का क्षेत्रफल = 2 × छायांकित भाग AEC का क्षेत्रफल