NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति 7.4 Hindi Medium

Class 10 Maths Chapter 7 Coordinate Geometry Exercise 7.4 NCERT Solutions in Hindi Medium

निर्देशांक ज्यामिति Ganit NCERT Solutions in Hindi Medium Exercise 7.4

प्रश्न 1. बिन्दुओं A(2, -2) और B(3, 7) को जोड़ने वाले रेखाखंड को रेखा 2x + y - 4 = 0 जिस अनुपात में विभाजित करती है उसे ज्ञात कीजिए |

Solution

माना बिंदुओं A(2, -2) और B(3, 7) को मिलाने वाले रेखाखंड को रेखा 2x + y - 4 = 0 बिंदु P पर k:1 के अनुपात में विभाजित करती है |

अतः बिंदु P रेखाखंड को 2:9 के अनुपात में विभाजित करता है | 

प्रश्न 2. x और y में एक संबंध ज्ञात कीजिए, यदि बिउंदु (x, y), (1, 2) और (7, 0) सरेंखी हैं|

Solution

∵ बिंदु A(x, y), B(1, 2) और C(7, 0) संरेखीय हैं |

∴ ΔABC का क्षेत्रफल = 0

प्रश्न 3. बिन्दुओं (6, -6), (3, 7) और (3, 3) से होकर जाने वाले वृत्त का केंद्र ज्ञात कीजिए |

Solution

माना बिंदुओं P(6, -6), Q(3, 7) और R(3, 3) से होकर जाने वाले वृत्त का केंद्र C(x, y) है|

तब, PC = QC = CR (वृत्त की त्रिज्या)

अब, PC = QC

समी (ii) से y का मान समी (i) में रखने पर,

अतः केंद्र के निर्देशांक (3, -2) हैं |

प्रश्न 4. किसी वर्ग के दो सम्मुख शीर्ष (-1, 2) और (3, 2) हैं| वर्ग के अन्य दोनों शीर्ष ज्ञात कीजिए |

Solution

माना PQRM एक वर्ग है और P(-1, 2) तथा R(3, 2) वर्ग के शीर्ष हैं |

माना Q के निर्देशांक (x, y) हैं |

समी (i) से x का मान समी (ii) में रखने पर,

अतः वर्ग के अन्य दो शीर्ष (1, 0) तथा (1, 4) हैं |

प्रश्न 5. कृष्णा नगर के एक सेकेंडरी स्कूल के कक्षा X के विधार्थियों को उनके बागवानी क्रियाकलाप के लिए, एक आयताकार भूखंड दिया गया है | गुलमोहर की पौध को परस्पर 1m की दूरी पर इस भूखंड की परिसीमा (boundary) पर लगाया जाता है | इस भूखंड के अन्दर एक त्रिभुजाकार घास लगा हुआ लॉन (lawn) है, जैसाकि आकृति 7.14 में दर्शाया गया है | विधार्थियों को भूखंड के शेष भाग में फूलों के पौधे के बीज बोने हैं |

(i) A को मूलबिंदु मानते हुए, त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए |

(ii) यदि मूलबिंदु C हो, त्रिभुज PQR के निर्देशांक क्या होंगे |

साथ ही, उपरोक्त दोनों स्थितियों में, त्रिभुजों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए | आप क्या देखते हैं ?

Solution

(i) जब बिंदु A को केंद्र मानते हैं, तब x-अक्ष और y-अक्ष क्रमशः AD और AB को माना जायेगा |

अतः बिंदुओं P, Q और R के निर्देशांक क्रमशः (4, 6), (3, 2) और (6, 5) हैं |

(ii) जब बिंदु C को केंद्र मानते हैं, तब x-अक्ष और y-अक्ष को क्रमशः CB और CD को माना जायेगा |

∴ बिंदुओं P, Q और R के निर्देशांक क्रमशः (12, 2), (13, 6) और (10, 3) हैं |

स्थिति I: जब बिंदु A को मूलबिंदु और AD तथा AB को निर्देशांक अक्ष लिया |

स्थिति II: जब बिंदु C को मूलबिंदु औरCB तथा CD को निर्देशांक अक्ष लिया | 

अतः दोनों स्थितियों में त्रिभुजों के क्षेत्रफल समान हैं |

प्रश्न 6. एक त्रिभुज ABC के शीर्ष A(4,6), B(1,5) और C(7,2) हैं | भुजाओं AB और AC को क्रमशः D और E पर प्रतिच्छेद करते हुए एक रेखा इस प्रकार खींची गई है की AD/AB = AE/AC = 1/4 है | त्रिभुज ΔADE का क्षेत्रफल परिकलित कीजिए और इसकी तुलना त्रिभुज ΔABC के क्षेत्रफल से कीजिए |

Solution

दिया है,

अतः बिंदु D, AB को 1:3 के अनुपात में अंतः विभाजित करता है | 

अतः बिंदु E, AC को 1:3 के अनुपात में अंतः विभाजित करता है | 

प्रश्न 7. मान लीजिए A (4,2), B(6,5) और C(1,4) एक त्रिभुज ABC के शीर्ष हैं |

(i) A से होकर जाने वाली माध्यिका BC से D पर मिलती है | बिन्दु D के निर्देशांक ज्ञात कीजिए|

(ii) AD पर स्थित ऐसे बिन्दु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए की AP : PD = 2:1 हो |

(iii) माध्यिकाओं BE और CF पर ऐसे बिन्दुओं Q और R के निर्देशांक ज्ञात कीजिए की BQ : QE = 2 : 1 हो और CR : RF = 2 : 1 हो |

(iv) आप क्या देखते हैं ?

[नोट: वह बिन्दु जो तीनों माध्यिकाओं में सार्वनिष्ठ हो, उस त्रिभुज का केन्द्रक (centroid) कहलाता है और यह प्रत्येक माध्यिका को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करता है |]

(v) यदि A(x₁ y₁)₂  B(X₂ y₂) और C(x₃ y₃) त्रिभुज ABC के शीर्ष हैं, तो इस त्रिभुज के केन्द्रक के निर्देशांक ज्ञात कीजिए |

Solution

माना बिंदु A(4, 2), B(6, 5) और C(1, 4) एक ΔABC के शीर्ष हैं |

(i) ∵ ΔABC की माध्यिका AD है | 

∴ BC का मध्य-बिंदु D है |

(ii) ∵ बिंदु P, AD को 2:1 के अनुपात में अंतः विभाजित करता है| 

(iii) ∵ ΔABC की माध्यिका BE  है |

∴ AC का मध्य-बिंदु E है |

∵ बिंदु Q, BE को 2:1 के अनुपात में अंतः विभाजित करता है |

∵ ΔABC की माध्यिका CF है |

∴ AB का मध्य-बिंदु F है |

∵ बिंदु R, CF को 2:1 के अनुपात में अंतः विभाजित करता है | 

(iv) हम जानते हैं कि बिंदु P, Q और R बिंदु (11/3, 11/3) पर संपाती हैं | इस बिंदु को त्रिभुज का केन्द्रक कहते हैं |

(v) माना A(x₁ y₁)₂  B(X₂ y₂) और C(x₃ y₃), ΔABC और के शीर्ष हैं जिसकी माध्यिकाएँ क्रमशः AD, BE और CF हैं, तब बिंदु क्रमशः भुजाओं BC, CA और AB के मध्य-बिंदु हैं |

∴ बिंदु G, AB को 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है |

बिंदु G, BE को 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है |

प्रश्न 8. बिन्दुओं A(-1,-1), B(-1,4), C(5,4) और D(5,-1) से एक आयात ABCD बनता है| PQR और S क्रमशः भुजाओं AB,BC,CD और DA के मध्य बिन्दु हैं | क्या चतुर्भुज PQRS एक वर्ग है? क्या यह एक आयत है ? क्या यह एक समचतुर्भुज है ? सकारण उत्तर दीजिए |

Solution

दिया है, बिंदु A(-1,-1), B(-1,4), C(5,4) और D(5,-1) एक आयत ABCD के शीर्ष हैं |

⇒ PR ≠ SQ

चूँकि सभी भुजाएं समान हैं लेकिन विकर्ण समान नहीं हैं |

∴ PQRS एक समचतुर्भुज है |