निर्देशांक ज्यामिति Ganit NCERT Solutions in Hindi Medium Exercise 7.2

प्रश्न 1. उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जो बिन्दुओं (-1,7) और (4,-3) को मिलाने वाले रेखाखंड को 2:3 के अनुपात में विभाजित करता है |

Solution

माना बिंदु के निर्देशांक (x, y) हैं |

प्रश्न 2. बिन्दुओं (4,-1) और (-2,-3) को जोड़ने वाले रेखाखंड को सम त्रिभाजित करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए |

Solution

माना बिंदुओं और को जोड़ने वाले रेखाखंड को सम त्रिभाजित करने वाले बिंदु और हैं | तब,
AP = PQ = BQ = k
∴ PB = PQ + QB = 2k (माना)
और AQ = AP + PQ = 2k

AP : PB = k : 2k = 1 : 2

प्रश्न 3. आपके स्कूल में खेल -कूद  क्रियाकलाप आयोजित करने के लिए, एक आयताकार मैदान ABCD में, चुने से परस्पर 1m की दुरी पर पंक्तियाँ बनाई गई हैं | AD के अनुदिश परस्पर 1m की दुरी पर 100 गमले रखे हैं, जैसा कि आकृति 7.12 में दर्शाया गया है | निहारिका दूसरी पंक्ति में AD के 1/4 भाग के बराबर की दूरी दौड़ती है और वहाँ एक हरा झंडा गाड़ देती है |प्रीत आठवीं पंक्ति में AD के 1/5 भाग के बराबर की दूरी दौडती है और वहाँ एक लाल झंडा गाड देती है दोनों झंडों के बीच की दूरी क्या है? यदि रश्मि को एक नीला झंडा इन दोनों झंडों को मिलाने वाले रेखाखंड पर ठीक आधी दूरी ( बीच में) पर गाड़ना हो तो उसे अपना झंडा कहाँ गाड़ना चाहिए ?

Solution

ऊपर दिए गए चित्र से,
निहारिका द्वारा लगाए गए हरे झंडे की स्थिति अर्थात  है |

और प्रीत द्वारा लगाए गए लाल झंडे की स्थिति अर्थात  है |

प्रश्न 4. बिन्दुओं (-3,10) और (6,-8) को जोड़ने वाले रेखाखंड को बिन्दु (-1,6) किस अनुपात में विभाजित करता है|

Solution

माना बिंदु A(-1, 6) बिंदुओं B(-3, 10) और (6, -8) को जोड़ने वाले रेखाखंड को k:1 अनुपात में विभाजित करता है | तब,

प्रश्न 5. वह अनुपात ज्ञात कीजिए जिसमें बिन्दुओं A(1,-5) और B(-4,5) को मिलाने वाला रेखाखंड x- अक्ष से विभाजित होता है| इस विभाजन बिंदु के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए |

Solution

माना अभीष्ट अनुपात k:1 है | तब, विभाजन सूत्र द्वारा, बिंदु A(1, -5) तथा B(-4, 5) को मिलाने वाला रेखाखंड को k:1 के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु M में निर्देशांक हैं |

प्रश्न 6. यदि बिन्दु (1,2),(4,y),(x,6) और (3,5), इसी क्रम में लेने पर, एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष हो तो x और y ज्ञात कीजिए |

Solution

ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है इसलिए इसके विकर्ण एक दुसरे को समद्विभाजित करते हैं |

इसलिए बिंदु H, AC तथा BD के मध्य-बिंदु है |

अत: माध्य-बिंदु सूत्र से,

बिंदु O के निर्देशांक - AC और BD के लिए बराबर होगा चूँकि दोनों विकर्ण का एक ही मध्य-बिंदु है |

प्रश्न 7. बिन्दु A के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जहाँ AB एक वृत्त का व्यास है जिसका केंद्र (2,-3) है तथा B के निर्देशांक (1,4) हैं|

Solution

माना AB वृत्त का व्यास है जिसका केंद्र C(2, -3) है तथा के निर्देशांक (1, 4) हैं |

माना बिंदु A के निर्देशांक (x, y) हैं | 

वृत्त का व्यास है तथा का मध्य-बिंदु है |

अतः बिंदु A के निर्देशांक (3, -10) हैं |

Solution

प्रश्न 9. बिन्दुओं A(-2,2) और B(2,8) को जोड़ने वाले रेखाखंड AB को चार बराबर भागों में विभाजित करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए |

Solution

बिंदु A(-2, 2) और B(2, 8) को बिंदु Q(x, y) 1 : 1 अनुपात में विभाजित करता है |

इसलिए मध्य बिंदु सूत्र से -

बिंदु A(-2, 2) और Q(0, 5) को बिंदु P(x, y) 1 : 1 अनुपात में विभाजित करता है |

इसलिए मध्य बिंदु सूत्र से -

बिंदु B(2, 8) और Q(0, 5) को बिंदु R(x, y) 1 : 1 अनुपात में विभाजित करता है |

इसलिए मध्य बिंदु सूत्र से -

अत: AB को चार बराबर भागों में बाँटने वाले बिंदु का निर्देशांक P(-1, 7/2), Q(0, 5), R(1, 7/2) हैं|

प्रश्न 10. एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष, इसी क्रम में, (3,0), (4,5), (-1,4) और (-2,-1) हैं|

Solution

माना A(3,0), B(4,5), C(-1,4) और D(-2,-1) समलम्ब के शीर्ष हैं |