Class 10 Maths Chapter 1 Real Number Exercise 1.2 NCERT Solutions in Hindi Medium
वास्तविक संख्याएँ Ganit NCERT Solutions in Hindi Medium Exercise 1.2
प्रश्न 1. निम्नलिखित संख्याओं को अभाज्य गुणनखंड के रूप में व्यक्त कीजिये :
(i) 140
(ii) 156
(iii) 3825
(iv) 5005
(v) 7429
Solution
(i) 140 का अभाज्य गुणनखंड
140 = 22 × 5 × 7
(ii) 156 का अभाज्य गुणनखंड
156 = 22 × 3 × 13
(iii) 3825 का अभाज्य गुणनखंड
3825 = 32 × 52 × 17
(iv) 5005 का अभाज्य गुणनखंड
5005 = 5 × 7 × 11 × 13
(v) 7429 का अभाज्य गुणनखंड
7429= 17 ×19 × 23
प्रश्न 2. पूर्णांकों के निम्नलिखित युग्मों के LCM and HCF ज्ञात कीजिए तथा इसकी जाँच कीजिए कि दो संख्याओं का गुणनफल = LCM × HCF है|
(i) 26 और 91
(ii) 510 और 92
(iii) 336 और 54
Solution
(i) 26 और 91
26 = 2 × 13
91 = 7 × 13
सार्व गुणनखंड = 13
∴ HCF = 13
LCM = 2 × 7 × 13 = 182
अब जाँच,
दो संख्याओं का गुणनफल = LCM × HCF
N1 × N2 = LCM × HCF
26 × 91 = 13 × 182
⇒ 2366 = 2366
इति सिद्धम
(ii) 510 और 92
510 = 2 × 3 × 5 × 17
92 = 2 × 2 × 23
सार्व गुणनखंड = 2
∴ HCF = 2
LCM = 2 × 2 × 3 × 5 × 17 × 23 = 23460
अब जाँच,
दो संख्याओं का गुणनखंड = LCM × HCF
N1 × N2 = LCM × HCF
510 × 92 = 2 × 23460
⇒ 46920 = 46920
इति सिद्धम
(iii) 336 और 54
336 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 7
54 = 2 × 3 × 3 × 3
सार्व गुणनखंड = 2 × 3
∴ HCF = 6
LCM = 2 × 2 × 2× 2 × 3 × 3 × 3 × 7 = 3024
अब जाँच,
दो संख्याओं का गुणनफल = LCM × HCF
N1 × N2 = LCM × HCF
336 × 54 = 6 × 3024
⇒ 18144 = 18144
इति सिद्धम
प्रश्न 3. अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा निम्नलिखित पूर्णांकों के LCM और HCF ज्ञात कीजिए |
(i) 12, 15 और 21
(ii) 17, 23 और 29
(iii) 8, 9 और 25
Solution
(i) 12, 15 और 21
12 = 2 × 2 × 3
15 = 5 × 3
21 = 7 × 3
सार्व गुणनखंड = 3
HCF = 3
LCM = 3 × 2 × 2 × 5 × 7 = 420
(ii) 17, 23 और 29
17 = 1 × 17
23 = 1 × 23
29 = 1 × 29
यहाँ 1 को छोड़कर अन्य कोई सार्व गुणनखंड नहीं है|
HCF = 1
LCM = 17 × 23 × 29 = 11339
(iii) 8, 9 और 25
8 = 2 × 2 × 2
9 = 3 × 3
25 = 5 × 5
यहाँ 1 को छोड़कर अन्य कोई सार्व गुणनखंड नहीं है |
∴ HCF = 1
LCM = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 5
= 8 × 9 × 25
= 1800
प्रश्न 4. HCF (306, 657) = 9, दिया है | LCM (306, 657) ज्ञात कीजिए |
Solution
HCF (306, 657) अर्थात् 306 और 657 का HCF = 9
चूंकि LCM × HCF = संख्याओं का गुणनफल
⇒ LCM = 22338
प्रश्न 5. जाँच कीजिए कि क्या किसी प्राकृत संख्या n के लिए संख्या 6n अंक 0 पर समाप्त हो सकती है |
Solution
6n का अभाज्य गुणनखंड = (2 × 3)n
जबकि, कोई प्राकृत संख्या जो शून्य पर समाप्त होती है उसके अभाज्य गुणनखंड (2 × 5)n के रूप का होता है |
अत: 6n शून्य पर समाप्त नहीं होगी |
प्रश्न 6. व्याख्या कीजिए 7 × 11 × 13 + 13 और 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5 भाज्य संख्या क्यों है ?
Solution
माना,
A = 7 × 11 × 13 + 13
= 13 (7×11 + 1)
= 13 (77 + 1)
= 13 × 78
अत: यह एक भाज्य संख्या है क्योंकि इसके अभाज्य गुणनखंड में 1 को छोड़कर अन्य दो गुणनखंड हैं |
इसी प्रकार,
माना,
B = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5
= 5 (7×6×4×3×2×1 + 1)
= 5 × (1008 + 1)
= 5 × 1009
अत: यह भी एक भाज्य संख्या है क्योंकि इसके भी अभाज्य गुणनखंड में 1 को छोड़कर अन्य दो गुणनखंड हैं |
प्रश्न 6. किसी खेल के मैदान के चारों ओर एक वृत्ताकार पथ है। इस मैदान का एक चक्कर लगाने में सोनिया को 18 मिनट लगते हैं, जबकि इसी मैदान का एक चक्कर लगाने में रवि को 12 मिनट लगते हैं। मान लीजिए वे दोनों एक ही स्थान और एक ही समय पर चलना प्रारंभ करके एक ही दिशा में चलते हैं। कितने समय बाद वे पुनः प्रांरभिक स्थान पर मिलेंगे?
Solution
एक चक्कर में सोनिया 18 मिनट लेती हैं |
रवि एक चक्कर में 12 लगाता है |
वे दोनों एक ही स्थान पर LCM(18, 12) मिनट के बाद मिलेंगे |
अत:
18 = 2 × 3 × 3
12 = 2 × 2 × 3
HCF = 2 × 3 = 6
= 36 मिनट