दो चरों वाले रैखिक समीकरणों का युग्म Ganit NCERT Solutions in Hindi Medium Exercise 3.3

प्रश्न 1. निम्न रैखिक समीकरण युग्म को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए :

(i) x + y = 14
x - y = 4

(ii) s - t = 3
s/3 + t/2 = 6

(iii) 3x - y = 3
9x 3y = 9

(iv) 0.2x + 0.3y = 1.3
0.4x + 0.5y = 2.3

(v) √2x + √3 y = 0
√3x - √8y = 0

(vi(vi) 3x/2 - 5y/3 = -2
x/3 + y/2 = 13/6

Solution

(i) दिया गया है,
x + y = 14 ...(i)
x - y = 4 ...(ii)

समी० (ii) से, y = x - 4
y = x - 4 समीकरण (i) में प्रस्थापित करने पर,

अतः दिए गए रैखिक समीकरण युग्म का हल है, x = 9, y = 5.

(ii) दिया गया है,

t = 6 समीकरण (iii) में प्रस्थापित करने पर,
s = 6 + 3 = 9
अतः दिए गए रैखिक समीकरण युग्म का हल है, s = 9, t = 6.

(iii) दिया गया है,

3x - y = 3 ...(i)
9x 3y = 9 ...(ii)

समी० (i) से, y = 3x - 3 ...(iii)

y = 3x - 3 समीकरण (ii) में प्रस्थापित करने पर,
9x - 3(3x - 3) = 9
⇒ 9x - 9x = 9
⇒ 9 = 9
यह कथन सत्य है |
अतः समीo (i) का प्रत्येक हल, समीo (ii) का हल है और विलोमतः x = k समीo (i) में रखने पर,

3k - y = 3
⇒ y  = 3k - 3
∴ प्रत्येक वास्तविक k के लिए, x = k, y  = 3k - 3 हल हैं |
अतः अपरिमित रूप से अनेक हल हैं |

(iv) दिया गया है,

अतः दिए गए रैखिक समीकरण युग्म का हल है, x = 2, y = 3.

(v) दिया गया है,

अतः दिए गए रैखिक समीकरण युग्म का हल है, x = 0, y = 0.

(vi) दिया गया है,

अतः दिए गए रैखिक समीकरण युग्म का हल है, x = 2, y = 3.

प्रश्न 3. 2x + 3y = 11 और 2x – 4y = -24 को हल कीजिए और इसमें ‘m’ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए y = mx + 3 हो |

Solution

2x + 3y = 11 …(i)
2x – 4y = – 24 …(ii)
समीकरण (ii) से

अतः m = -1

प्रश्न 3. निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरण युग्म बनाइए और उनके हल प्रतिस्थापन विधि द्वारा ज्ञात कीजिए।

(i) दो संख्याओं का अंतर 26 है और एक संख्या दूसरी संख्या की तीन गुनी है। उन्हें ज्ञात कीजिए।

Solution

माना पहली संख्या x और दूसरी संख्या y है |

तो प्रश्नानुसार,

स्थिति (i)
x – y = 26 ...(i)

स्थिति (ii)
x = 3y ...(ii)

अब समीकरण (i) में x = 3y रखने पर

x – y = 26
⇒ 3y - y = 26
⇒ 2y = 26
⇒ y = 13

अब y = 13 समीकरण (ii) में रखने पर 

x = 3y
⇒ x = 3×13 = 39

अतः पहली संख्या 39 है और दूसरी संख्या 13 है |

(ii) दो संपूरक कोणों में बड़ा कोण छोटे कोण से 18 डिग्री अधिक है। उन्हें ज्ञात कीजिए।

Solution

माना दो संपूरक कोणों में से बड़ा कोण x है

और छोटा कोण y है |

अत: स्थिति (ii)
x – y = 18° ...(i)
x + y = 180° ...(ii) (संपूरक कोणों का योग 180° होता है |)

अब समीकरण (i) से
x – y = 18°
⇒ x = 18° + y

अब का मान समीकरण (ii) में रखने पर,
x + y = 180°
⇒ 18° + y + y = 180°
⇒ 18° + 2y = 180°
⇒ 2y = 180° - 18°
⇒ 2y = 162°
⇒ y = 162°/2
⇒ y = 81°

y का मान समीकरण (i) में रखने पर,
⇒ x = 18° + y
⇒ x = 18° + 81°
⇒ x = 99°

अतः बड़ा कोण 99° है और छोटा कोण 81° है |

(iii) एक क्रिकेट टीम के कोच ने 7 बल्ले तथा 6 गेंदें 3800 में खरीदीं। बाद में, उसने 3 बल्ले तथा 5 गेंदें 1750 में खरीदी। प्रत्येक बल्ले और प्रत्येक गेंद का मूल्य ज्ञात कीजिए।

Solution

माना एक बल्ले का मूल्य = ₹x
तथा एक गेंद का मूल्य = ₹y
प्रश्नानुसार,
7x + 6y = 3800 ...(i)
3x + 5y = 1750 ...(ii)
समीकरण (ii) से,

अतः एक बल्ले का मूल्य = ₹500
तथा एक गेंद का मूल्य = ₹50

(iv) एक नगर में टैक्सी के भाड़े में एक नियत भाड़े के अतिरिक्त चली गई दूरी पर भाड़ा सम्मिलित किया जाता है। 10 किमी. दूरी के लिए भाड़ा 105 है तथा 15 किमी. के लिए भाड़ा 155 है। नियत भाड़ा तथा प्रति किमी. भाड़ा क्या है? एक व्यक्ति को 25 किमी. यात्रा करने के लिए कितना भाड़ा देना होगा?

Solution

माना नियत शुल्क = ₹x 
तथा प्रति किमी शुल्क = ₹y
प्रश्नानुसार,
x + 10y = 105 ...(i)
x + 15y = 155 ...(ii)

समीकरण (ii) से,
x = 105 - 10y ...(iii)

समीकरण (iii) से x का मान समीकरण (ii) में प्रतिस्थापित करने पर,

अतः टैक्सी का नियत शुल्क = ₹5
तथा प्रति किमी शुल्क = ₹10
25 किमी की यात्रा की लिए चुकाया गया शुल्क,
= x + 25y
= 5 + 25×10
= 5 + 250
= ₹255

(v) यदि किसी भिन्न के अंश और हर दोनों में 2 जोड़ दिया जाए, तो वह 9/11 हो जाती है। यदि अंश और हर दोनों में 3 जोड़ दिया जाए, तो वह 5/6 हो जाती है। वह भिन्न ज्ञात कीजिए।

Solution

माना अंश = x तथा हर = y

(vi) पाँच वर्ष बाद जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु से तीन गुनी हो जाएगी। पाँच वर्ष पूर्व जैकब की आयु उसके पुत्र की आयु की सात गुनी थी। उनकी वर्तमान आयु क्या है?

मन जैकब के पुत्र की वर्तमान आयु = xवर्ष
तथा जैकब की वर्तमान आयु = yवर्ष

5 वर्ष बाद,
जैकब के पुत्र की आयु = (x + 5) वर्ष
तथा, जैकब की आयु = (y + 5) वर्ष

प्रश्नानुसार,
(y + 5) = 3(x + 5)
⇒ y + 5 = 3x + 15
⇒ 3x - y = -10 ...(i)

5 वर्ष पहले,
जैकब के पुत्र की आयु = (x - 5) वर्ष
तथा, जैकब की आयु = (y - 5) वर्ष

प्रश्नानुसार,
(y - 5) = 7(x - 5)
⇒ y - 5 = 7x - 35
⇒ 7x - y = 30 ...(ii)

समी (i) से,
y = 3x + 10 ...(iii)

समी (iii) से y = 3x + 10 समी (ii) में प्रस्थापित करने पर,
7x - (3x + 10) = 30
⇒ 7x - 3x - 10 = 30
⇒ 4x = 30 + 10
⇒ 4x = 40

x = 10 समी (iii) में रखने पर,
y = 3×10 + 10
⇒ y = 30 + 10
⇒ y = 40

अतः जैकब के पुत्र की वर्तमान आयु = 10 वर्ष 

तथा, जैकब की वर्तमान आयु = 40 वर्ष