NCERT Solutions for Class 9 Maths Chapter 14 सांख्यिकी 14.3 Hindi Medium

Class 9 Maths Chapter 14 सांख्यिकी 14.3 NCERT Solutions in Hindi Medium

सांख्यिकी Ganit NCERT Solutions in Hindi Medium Exercise 14.3

प्रश्न 1. एक संगठन ने पूरे विश्व में 15-44 (वर्षों में) की आयु वाली महिलाओं में बीमारी और मृत्यु के कारणों का पता लगाने के लिए किए गए सर्वेक्षण से निम्नलिखित आँकड़े (प्रतिशत में) प्राप्त किए

क्र.सं.	कारण	महिला मृत्यु दर (प्रतिशत में)
1.	जनन स्वास्थ्य अवस्था	31.8
2.	तंत्रिका मनोविकारों अवस्था	25.4
3.	क्षति	12.4
4.	हृदय वाहिका अवस्था	4.3
5.	श्वसन अवस्था	4.1
6.	अन्य कारण	22.0

(i) ऊपर दी गई सूचनाओं को आलेखीय रूप में निरूपित कीजिए।

(ii) कौन-सी अवस्था पर विश्व की महिलाओं के खराब स्वास्थ्य और मृत्यु का बड़ा कारण है?

(iii) अपनी अध्यापिका की सहायता से ऐसे दो कारणों का पता लगाने का प्रयास कीजिए जिनकी ऊपर (ii) में मुख्य भूमिका रही हो।

Solution

(i) हम इन आँकड़ों का दंड आलेख निम्नलिखित चरणों में बनाते हैं। ध्यान दीजिए कि दूसरे स्तंभ में दिया गया मात्रक ' प्रतिशत (%)' में है।

1. कोई भी पैमाना (scale) लेकर हम अक्ष पर कारणों (चर) को निरूपित करते हैं क्योंकि यहाँ दंड की चौड़ाई का कोई महत्त्व नहीं होता परन्तु स्पष्टता के लिए हम सभी दण्ड समान चौड़ाई के लेते हैं और उनके बीच समान दूरी बनाए रखते हैं। माना एक कारण को एक मात्रक से निरूपित किया गया है।
2. हम महिला मृत्यु दर (%) को ऊर्ध्वाधर अक्ष पर निरूपित करते हैं।
   यहाँ, हम 1 मात्रक = 4% ले सकते हैं।
3. अपने पहले कारण अर्थात् जनन स्वास्थ्य अवस्था को निरूपित करने के लिए हम 1 मात्रक की चौड़ाई 31.8 मात्रक की ऊँचाई वाला एक आयताकार दंड बनाते हैं।
4. इसी प्रकार, दो क्रमागत दंडों के बीच 1 मात्रक का खाली स्थान छोड़कर अन्य कारणों को निरूपित किया जाता है।

अब आकृति में ग्राफ खींचते हैं

(ii) उपरोक्त ग्राफ से हम देख सकते हैं कि "जनन स्वास्थ्य अवस्था" पर विश्व की महिलाओं के खराब स्वास्थ्य और मृत्यु का बड़ा कारण है, क्योंकि यह अन्य कारणों में सबसे अधिक प्रतिशतता अर्थात् 31.8% रखता है।

(iii) स्वयं कीजिए |

प्रश्न 2. भारतीय समाज के विभिन्न क्षेत्रों में प्रति हजार लड़कों पर लड़कियों की (निकटतम दस तक की ) संख्या के आँकड़े नीचे दिए गए हैं

क्षेत्र	प्रति हजार लड़कों पर लड़कियों की संख्या
अनुसूचित जाति	940
अनुसूचित जनजाति	970
गैर अनुसूचित जाति / जनजाति	920
पिछड़े जिले	950
गैर पिछड़े जिले	920
ग्रामीण	930
शहरी	910

(i) ऊपर दी गई सूचनाओं को एक दण्ड आलेख द्वारा निरूपित कीजिए।
(ii) कक्षा में चर्चा करके, बताइए कि आप इस आलेख से कौन-कौन से निष्कर्ष निकाल सकते हैं।

Solution

(i) हम इन आँकड़ों का दंड आलेख निम्नलिखित चरणों में बनाते हैं। ध्यान दीजिए कि दूसरे स्तम्भ में दिया गया मात्रक प्रति हजार लड़कों पर लड़कियों की संख्या है।

1. कोई भी पैमाना (scale) लेकर हम अक्ष पर क्षेत्रों (चर ) को निरूपित करते हैं, क्योंकि यहाँ दंड की चौड़ाई का कोई महत्त्व नहीं होता है परन्तु स्पष्टता के लिए हम सभी दंड समान चौड़ाई के लेते हैं और उनके बीच समान दूरी बनाए रखते हैं। माना एक क्षेत्र को एक मात्रक से निरूपित किया गया है।
2. हम प्रति हजार लड़कों पर लड़कियों की संख्या को ऊर्ध्वाधर अक्ष पर निरूपित करते हैं । यहाँ, हम 1 मात्रक = 100 का चयन करते हैं।

अब, हम आकृति में ग्राफ खींचते हैं

(ii) उपरोक्त ग्राफ से, हम देखते हैं कि अनुसूचित जनजाति की लड़कियों का भारतीय समाज के विभिन्न क्षेत्रों में एक मुख्या क्षेत्र है क्योंकि यह प्रति हजार लड़कों पर लड़कियों की संख्या 970 रखती है |

प्रश्न 3. एक राज्य के विधान सभा के चुनाव में विभिन्न राजनीतिक पार्टियों द्वारा जीती गई सीटों के परिणाम नीचे दिए गए हैं

राजनीतिक पार्टी	A	B	C	D	E	F
जीती गई सीट	75	55	37	29	10	37

(i) मतदान के परिणामों को निरूपित करने वाला एक दण्ड आलेख खींचिए।
(ii) किस राजनीतिक पार्टी ने अधिकतम सीटें जीती हैं?

Solution

(i) हम इन आँकड़ों का दण्ड आलेख निम्नलिखित चरणों में बनाते हैं। ध्यान दीजिए कि दूसरे स्तम्भ में दिया गया मात्रक 'जीती गई सीट' है।

1. कोई भी पैमाना (scale) लेकर हम अक्ष पर राजनीतिक पार्टियों (चर) को निरूपित करते हैं क्योंकि यहाँ दण्ड की चौड़ाई का कोई महत्त्व नहीं होता है परन्तु स्पष्टता के लिए हम सभी दंड समान चौड़ाई के लेते हैं और उनके बीच समान दूरी बनाए रखते हैं। माना एक राजनीतिक पार्टी को एक मात्रक से निरूपित किया गया है।
2. हम जीती गईं सीटों को ऊर्ध्वाधर अक्ष पर निरूपित करते हैं ।
   यहाँ, हम 1 मात्रक = 10 का चयन करते हैं।

अब, हम आकृति में ग्राफ खींचते हैं

(ii) पार्टी 'A' ने अधिकतम सीटें अर्थात् 75 जीती हैं।

प्रश्न 4. एक पौधों की 40 पत्तियों की लम्बाइयाँ एक मिमी तक शुद्ध मापी गईं हैं और प्राप्त आँकड़ों को निम्नलिखित सारणी में निरूपित किया गया है

लम्बाई (मिमी)	पत्तियों की संख्या
118-126	3
127-135	5
136-144	9
145-153	12
154-162	5
163-171	4
172-180	2

(i) दिए हुए आँकड़ों को निरूपित करने वाला एक आयत चित्र खींचिए।
(ii) क्या इन्हीं आँकड़ों को निरूपित करने वाला कोई अन्य उपरोक्त आलेख है ?
(iii) क्या यह सही निष्कर्ष है कि 153 मिमी लम्बाई वाली पत्तियों की संख्या सबसे अधिक है? क्यों?

Solution

(i) हम जानते हैं कि, आयत चित्र में आयतों के क्षेत्रफल संगत बारम्बारताओं के समानुपाती होते हैं। ऊपर दिये गए आँकड़ों को संशोधित करके निम्न संशोधित सारणी बनाते हैं

अब इस संशोधित आँकड़ों को आलेखीय रूप में इस प्रकार निरूपित करते हैं

1. हम एक उपयुक्त पैमाना लेकर लम्बाई को क्षैतिज अक्ष पर निरूपित करते हैं। हम पैमाना 1 सेमी = 9 मिमी ले सकते हैं। साथ ही, क्योंकि पहला वर्ग अंतराल 117.5 से प्रारम्भ हो रहा न कि शून्य से, इसलिए एक निकुंच (kink) का चिह्न बनाकर या अक्ष में एक विच्छेद दिखा कर इसे हम आलेख पर दर्शा सकते हैं।

2. हम एक उपयुक्त पैमाने के अनुसार पत्तियों की संख्या (बारम्बारता ) को ऊर्ध्वाधर अक्ष पर निरूपित करते हैं। साथ ही, क्योंकि अधिकतम बारम्बारता 12 है इसलिए हमें एक ऐसे पैमाने का चयन करना होता है जिससे कि उसमें यह अधिकतम बारम्बारता आ सके।

3. अब, हम वर्ग अंतराल के अनुसार समान चौड़ाई और संगत वर्ग अंतरालों की बारम्बारताओं को लंबाइयाँ मानकर आयत ( आयताकार दंड) बनाते हैं।

4. इस प्रकार हमें जो आलेख प्राप्त होता है, उसे आकृति में दिखाया गया है। यह आकृति आयत चित्र के साथ बारम्बारता बहुभुज भी है।

(ii) बारम्बारता बहुभुज।

(iii) नहीं, क्योंकि 153 मिमी लम्बाई वाली पत्तियों की संख्या सबसे अधिक नहीं है। सबसे अधिक पत्तियों की संख्या उनकी लम्बाई के साथ अंतराल 145-153 में स्थित है।

प्रश्न 5. नीचे की सारणी में 400 नियॉन लैम्पों के जीवनकाल दिए गए हैं

जीवनकाल (घंटों में)	लैम्पों की संख्या
300-400	14
400-500	56
500-600	60
600-700	86
700-800	74
800-900	62
900-1000	48

(i) एक आयत चित्र की सहायता से दी हुई सूचनाओं को निरूपित कीजिए ।
(ii) कितने लैम्पों के जीवनकाल 700 घंटों से अधिक हैं ?

Solution

(i) सबसे पहले हम दिए गए आंकड़ों की एक संशोधित सारणी बनाएँगे

अब, हम उपरोक्त सारणी के लिए एक आयत चित्र खींचते हैं

(ii) 184 लैम्पों के जीवनकाल 700 घंटों से अधिक हैं

अर्थात् 74 + 62 + 48 = 184

प्रश्न 6. नीचे की दो सारणियों में प्राप्त किए गए अंकों के अनुसार दो सेक्शनों के विद्यार्थियों का बंटन दिया गया है

दो बारम्बारता बहुभुजों की सहायता से एक ही आलेख पर दोनों सेक्शनों के विद्यार्थियों के प्राप्तांक निरूपित कीजिए। दोनों बहुभुजों का अध्ययन करके दोनों सेक्शनों के निष्पादनों की तुलना कीजिए ।

Solution

यहाँ, दिए गए आँकड़ों की संशोधित सारणियाँ बनाते हैं

सेक्शन A के लिए,

सेक्शन B के लिए,

 

अब, बारम्बारता बहुभुज वक्र है

प्रश्न 7. एक क्रिकेट मैच में दो टीमों A और B द्वारा प्रथम 60 गेंदों में बनाए गए रन नीचे दिए गए हैं

गेंदों की संख्या	टीम A	टीम B
1-6	2	5
7-12	1	6
13-18	8	2
19-24	9	10
25-30	4	5
31-36	5	6
37-42	6	3
43-48	10	4
49-54	6	8
55-60	2	10

बारम्बारता बहुभुज की सहायता से एक ही आलेख पर दोनों टीमों के आँकड़े निरूपित कीजिए ।
[संकेत - पहले वर्ग अंतरालों को सतत् बनाइए।]

Solution

सर्वप्रथ, एक सतत् वर्ग अन्तराल संशोधित सारणी बनाते हैं।

अब, हम उपरोक्त आँकड़ों की सहायता से एक बारम्बारता बहुभुज का आलेख बनाएँगे।

प्रश्न 8. एक पार्क में खेल रहे विभिन्न आयु वर्गों के बच्चों की संख्या का एक यादृच्छिक सर्वेक्षण (random survey) करने पर निम्नलिखित आँकड़े प्राप्त हुए

आयु (वर्षो में)	बच्चों की संख्या
1-2	5
2-3	3
3-5	6
5-7	12
7-10	9
10-15	10
15-17	4

ऊपर दिए आँकड़ों को निरूपित करने वाला एक आयत चित्र खींचिए।

Solution

हम जानते हैं कि आयतों के क्षेत्रफल आयत चित्र की बारम्बारताओं के समानुपाती होते हैं। यहाँ, आयतों की चौड़ाई विचरण करती है। अतः हमें आयतों की लंबाइयों में कुछ परिवर्तन (modifications) करने की आवश्यकता होती है जिससे कि क्षेत्रफल पुनः बारम्बारताओं के समानुपाती हो जाए। इसके लिए निम्न चरणों का पालन करते हैं

1. न्यूनतम वर्ग चौड़ाई वाला एक वर्ग अंतराल लेते हैं। उपरोक्त आँकड़ों में न्यूनतम वर्ग चौड़ाई 1 है।
2. तब, आयतों की लम्बाइयों में इस प्रकार परिवर्तन करते हैं जिससे कि वह वर्ग चौड़ाई 1 के समानुपाती हो जाए ।

अब, हमें अग्र सारणी प्राप्त होती है

अतः परिवर्ती चौड़ाई वाला सही आयत चित्र नीचे दिखाया गया है

प्रश्न 9. एक स्थानीय टेलीफोन निर्देशिका से 100 कुल नाम (surname) यादृच्छया लिए गए और उनसे अंग्रेजी वर्णमाला के अक्षरों की संख्या का निम्न बारम्बारता बंटन प्राप्त किया गया

वर्णमाला के अक्षरों की संख्या	कुल नामों की संख्या
1-4	6
4-6	30
6-8	44
8-12	16
12-20	4

(i) दी हुई सूचनाओं को निरूपित करने वाला एक आयत चित्र खींचिए।
(ii) वह वर्ग अंतराल बताइए जिसमें अधिकतम संख्या में कुल नाम हैं।

Solution

(i) हम जानते हैं कि आयतों के क्षेत्रफल आयत चित्र की बारम्बारताओं के समानुपाती होते हैं। यहाँ. आयतों की चौड़ाई विचरण करती है। अतः हमें आयतों की लम्बाइयों में कुछ परिवर्तन (modification) करने की आवश्यकता होती है जिससे कि क्षेत्रफल पुनः बारम्बारताओं के समानुपाती हो जाए। इसके लिए निम्न चरणों का पालन करते हैं।

1. न्यूनतम वर्ग चौड़ाई वाला एक वर्ग अंतराल लेते हैं। उपरोक्त आँकड़ों में न्यूनतम चौड़ाई 2 है।
2. तब, आयतों की लम्बाइयों में इस प्रकार परिवर्तन करते हैं जिससे कि वह वर्ग चौड़ाई 2 के समानुपाती हो जाए। क्योंकि हमने प्रत्येक स्थिति में 2 अंकों के अंतराल पर ये लम्बाइयाँ परिकलित की हैं इसलिए हम कह सकते हैं कि, इन लम्बाइयों के "प्रति 2 अंक अंतराल पर कुल नामों के समानुपाती मान" हैं।

परिवर्ती चौड़ाई वाला सही आयत चित्र आकृति में नीचे दिखाया गया है

यहाँ, हम न्यूनतम वर्ग आकार 2 के साथ दिए गए आँकड़ों के द्वारा एक संशोधित सारणी बनाते हैं

(ii) अंतराल 6-8 में कुल नामों की अधिकतम संख्या है।