प्रायिकता Ganit NCERT Solutions in Hindi Medium Exercise 15.1

प्रश्न 1. एक क्रिकेट मैच में, एक महिला बल्लेबाज खेली गई 30 गेंदों में 6 बार चौका मारती है। चौका न मारे जाने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए ।

Solution

चूँकि महिला बल्लेबाज 30 गेंदें खेलती है ।

इस प्रकार,

अभिप्रयोगों की कुल संख्या, n(s) = 30

माना E चौके मारने की घटना है।

∴ n(E) = 6

चौका न मारने की कुल संख्या, n(E') = 30 – 6 = 24

प्रश्न 2. 2 बच्चों वाले 1500 परिवारों का यादृच्छया चयन किया गया है और निम्नलिखित आँकड़े लिख लिए गए हैं

यादृच्छया चुने गए उस परिवार की प्रायिकता ज्ञात कीजिए, जिसमें

(i) दो लड़कियाँ हों
(ii) एक लड़की हो
(iii) कोई लड़की न हो

साथ ही, यह भी जाँच कीजिए कि इन प्रायिकताओं का योगफल 1 है या नहीं ।

Solution

परिवारों की कुल संख्या, n (S) = 1500

(i) दो लड़कियाँ रखने वाले परिवारों की संख्या,

n (E1) = 475

∴ प्रायिकता, जिसमें दो लड़कियाँ हैं

(ii) एक लड़की रखने वाले परिवारों की संख्या,

n (E2) = 814

∴ प्रायिकता, जिसमें एक लड़की है

(iii) कोई भी लड़की न रखने वाले परिवारों की संख्या,

n (E3) = 211

∴ प्रायिकता, जिसमें कोई भी लड़की नहीं है

∴ प्रायिकताओं का योग = P (E1) + P (E2) + P (E3)

प्रश्न 3. नवीं कक्षा के 40 विद्यार्थियों से उनके जन्म का महीना बताने के लिए कहा गया। इस प्रकार आँकड़ों से निम्नलिखित आलेख बनाया गया

कक्षा के किसी एक विद्यार्थी का जन्म अगस्त में होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए ।

Solution

नवीं कक्षा में कुल विद्यार्थियों की संख्या, n (S) = 40

अगस्त के महीने में जन्म लेने वाले कुल विद्यार्थियों की संख्या, n (E) = 6

∴ कक्षा के किसी एक विद्यार्थी का जन्म अगस्त में होने की प्रायिकता

प्रश्न 4. तीन सिक्कों को एकसाथ 200 बार उछाला गया है तथा इनमें विभिन्न परिणामों की बारम्बारताएँ ये हैं

यदि तीनों सिक्कों को पुनः एकसाथ उछाला जाए, तो दो चित के आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

Solution

तीन सिक्कों को एकसाथ 72 बार उछालने पर 2 चित आने का परिणाम प्राप्त होता है।

अर्थात् n (E) = 72

तीन सिक्कों को उछालने की कुल संख्या, n (S) = 200

प्रश्न 5. एक कम्पनी ने यादृच्छया 2400 परिवार चुनकर एक घर की आय स्तर और वाहनों की संख्या के बीच सम्बन्ध स्थापित करने के लिए उनका सर्वेक्षण किया । एकत्रित किए गए आँकड़े नीचे सारणी में दिए गए हैं

मान लीजिए एक परिवार चुना गया है । प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि चुने गए परिवार

(i) की आय ₹10000-13000 प्रतिमाह है और उसके पास ठीक-ठीक दो वाहन हैं।

(ii) की आय प्रतिमाह ₹ 16000 या इससे अधिक है और उसके पास ठीक 1 वाहन है ।

(iii) की आय ₹7000 प्रतिमाह से कम है और उसके पास कोई वाहन नहीं है।

(iv) की आय ₹13000-16000 प्रतिमाह है और उसके पास 2 से अधिक वाहन है ।

(v) जिसके पास 1 से अधिक वाहन नहीं है।

Solution

कम्पनी द्वारा चयनित परिवारों की कुल संख्या, n (S) = 2400

(i) आय ₹10000-13000 प्रतिमाह और ठीक-ठीक दो वाहन रखने वाले परिवारों की कुल संख्या, n (E1) = 29

(ii) आय प्रतिमाह ₹ 16000 या इससे अधिक और ठीक 1 वाहन रखने वाले परिवारों की कुल संख्या, n (E2) = 579

(iii) आय ₹ 7000 प्रतिमाह से कम और कोई भी वाहन न रखने वाले परिवारों की कुल संख्या, n (E3) = 10

(iv) आय ₹13000-16000 प्रतिमाह और 2 से अधिक वाहन रखने वाले परिवारों की कुल संख्या, n (E4) = 25

(v) 1 से अधिक वाहन न रखने वाले परिवारों की कुल संख्या,

n (E5) = (10 + 1 + 2 + 1) + (160 + 305 + 535 + 469 + 579)

= 14 + 2048

= 2062

प्रश्न 6. एक अध्यापिका दो सेक्शनों के विद्यार्थियों के प्रदर्शनों का विश्लेषण 100 अंक की गणित की परीक्षा लेकर करना चाहती है। उनके प्रदर्शनों को देखने पर वह यह पाती है कि केवल कुछ ही विद्यार्थियों के प्राप्तांक 20 से कम हैं और कुछ विद्यार्थियों के प्राप्तांक 70 या उससे अधिक हैं। अतः उसने विद्यार्थियों को 0-20, 20-30,..., 60-70, 70-100 जैसे विभिन्न माप वाले अन्तरालों में वर्गीकृत करने का निर्णय लिया, तब उसने निम्नलिखित सारणी बनाई

(i) गणित की परीक्षा में एक विद्यार्थी द्वारा 20% कम अंक प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए ।

(ii) एक विद्यार्थी द्वारा 60 या इससे अधिक अंक प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

Solution

(i) कक्षा में विद्यार्थियों की कुल संख्या, n (S) = 90

अन्तराल 0-20 में 20% से कम अंक प्राप्त करने वाले विद्यार्थियों की कुल संख्या,

n (E) = 7

∴ गणित की परीक्षा में एक विद्यार्थी द्वारा 20% कम अंक प्राप्त करने की प्रायिकता

(ii) अन्तराल 60-70 तथा 70 और उससे अधिक में 60 या उससे अधिक अंक प्राप्त करने वाले विद्यार्थियों की कुल संख्या,

n (F) = 15 + 8 = 23

∴ एक विद्यार्थी द्वारा 60 या इससे अधिक अंक प्राप्त करने की प्रायिकता

प्रश्न 7. सांख्यिकी के बारे में विद्यार्थियों का मत जानने के लिए 200 विद्यार्थियों का सर्वेक्षण किया गया। प्राप्त आँकड़ों को नीचे दी गई सारणी में लिख लिया गया है

प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यादृच्छया चुना गया विद्यार्थी

(i) सांख्यिकी पसन्द करता है
(ii) सांख्यिकी पसन्द नहीं करता है ।

Solution

विद्यार्थियों की कुल संख्या, n (S) = 200

(i) सांख्यिकी पसन्द करने वाले विद्यार्थियों की कुल संख्या, n (E) = 135 

∴ प्रायिकता, कि यादृच्छिक चुने गए विद्यार्थी सांख्यिकी पसन्द करते हैं

(ii) सांख्यिकी को पसन्द न करने वाले विद्यार्थियों की कुल संख्या, n (F) = 65

∴ प्रायिकता, कि यादृच्छिक चुने गए विद्यार्थी सांख्यिकी पसन्द नहीं करते हैं

प्रश्न 8. 40 इन्जीनियरों की उनके आवास से कार्य स्थल की (किमी में ) दूरियाँ ये हैं

5 3 10 20 25 11 13 7 12 31 19 10 12 17 18 11 32 17 16 2 7 9 7 8 3 5 12 15 18 3 12 14 2 9 6 15 15 7 6 12

इसकी आनुभविक प्रायिकता क्या होगी कि इन्जीनियर

(i) अपने कार्य स्थल से 7 किमी से कम दूरी पर रहते हैं?
(ii) अपने कार्य स्थल से 7 किमी या इससे अधिक दूरी पर रहते हैं?
(iii) अपने कार्य स्थल से 1/2 किमी या इससे कम दूरी पर रहते हैं ?

Solution

इन्जीनियरों के रहने की कुल संख्या, n (S) = 40

(i) अपने कार्य स्थल से 7 किमी से कम दूरी पर रहने वाले इन्जीनियरों की संख्या,

n (E) = 9

∴ आनुभविक प्रायिकता कि इन्जीनियर अपने कार्य स्थल से 7 किमी से कम दूरी पर रहते हैं

(ii) अपने कार्य स्थल से 7 किमी या इससे अधिक दूरी पर रहने वाले इन्जीनियरों की संख्या, n (F) = 40 – 9 = 31

∴ आनुभविक प्रायिकता कि इन्जीनियर अपने कार्य स्थल से 7 किमी या इससे अधिक दूरी पर रहते हैं

(iii) अपने कार्य स्थल से 1/2 किमी या इससे कम दूरी पर रहने वाले इन्जीनियरों की संख्या, n (G) = 0

∴ आनुभविक प्रायिकता कि इन्जीनियर अपने कार्य स्थल से 1/2 किमी या इससे कम दूरी पर रहते हैं

प्रश्न 9. क्रियाकलाप अपने विद्यालय के गेट के सामने से एक समय - अन्तराल में गुजरने वाले दो पहिये, तीन पहिये और चार पहिये वाहनों की बारम्बारता लिख लीजिए। आपके द्वारा देखे गए वाहनों में से किसी एक वाहन को दो पहिये वाहन होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए ।

Solution

अपने विद्यालय के गेट के सामने से एक समय - अन्तराल 6 : 30 से 7:30 am में गुजरने वाले दो पहिये, तीन पहिये और चार पहिये वाहनों की बारम्बारता को विश्लेषित करने के पश्चात् निम्न सारणी बनाई जाती है।

∴ वाहनों की कुल संख्या, n (S) = 550 + 250 + 80 = 880

दो पहिये वाहनों की संख्या, n (E) = 550

∴ दो पहिये वाहनों के होने की प्रायिकता

प्रश्न 10. क्रियाकलाप आप अपनी कक्षा के विद्यार्थियों से एक 3 अंक वाली संख्या लिखने को कहिए। आप कक्षा से एक विद्यार्थी को यादृच्छया चुन लीजिए। इस बात की प्रायिकता क्या होगी कि उसके द्वारा लिखी गई संख्या 3 से भाज्य है ? याद रखिए कि कोई संख्या 3 से भाज्य होती है, यदि उसके अंकों का योग 4 से भाज्य हो ।

Solution

माना कक्षा में 40 विद्यार्थी हैं।

∴ किसी भी विद्यार्थी को चयन करने की प्रायिकता = 40/40 = 1

एक तीन अंकीय संख्या 100 से 999 तक होती है।

तीन अंकीय संख्याओं की कुल संख्या = 999 – 99 = 900

∴ तीन अंकीय संख्याओं में 3 के गुणक = {102, 105, ...., 999}

∴ तीन अंकीय संख्या में 3 के गुणकों की संख्या = 900/3 = 300

अर्थात् n (E) = 300

∴ इस बात की प्रायिकता कि उसके द्वारा लिखी गई संख्या 3 से भाज्य है

प्रश्न 11. आटे की उन ग्यारह थैलियों में, जिन पर 5 किग्रा अंकित है, वास्तव में आटे के निम्नलिखित भार (किग्रा में) हैं

4.97 5.05 5.08 5.03 5.00 5.06 5.08 4.98 5.04 5.07 5.00

यादृच्छया चुनी गई एक थैली में 5 किग्रा से अधिक आटा होने की प्रायिकता क्या होगी ?

Solution

आटे की थैलियों की कुल संख्या, n (S) = 11

थैलियाँ, जो 5 किग्रा से अधिक आटा रखती हैं, हैं

E = {5.05, 5.08, 5.03, 5.06, 5.08,5.04,5.07}

∴ n (E) = 7

प्रश्न 12. एक नगर में वायु में सल्फर डाइऑक्साइड का सान्द्रण भाग प्रति मिलियन में ज्ञात करने के लिए एक अध्ययन किया गया। 30 दिनों के प्राप्त किए गए आँकड़े ये हैं

0.03 0.16 0.11 0.08 0.11 0.08 0.08 0.09 0.04 0.17 0.05 0.02 0.06 0.18 0.20 0.13 0.22 0.07 0.06 0.09 0.18 0.08 0.12 0.01 0.10 0.07 0.05 0.07 0.01 0.04

आपसे 30 दिनों तक एक नगर की प्रति वायु में सल्फर डाइऑक्साइड का भाग प्रति मिलियन में
सान्द्रता से सम्बन्धित एक बारम्बारता बंटन सारणी बनाने के लिए कहा गया था। इस सारणी की सहायता से इनमें से किसी एक दिन अन्तराल (0.12 - 0.16) में सल्फर डाइऑक्साइड के सान्द्रण होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए ।

Solution

अब, हम एक बारम्बारता बंटन सारणी बनाएँगे

सल्फर डाइऑक्साइड को बनाने के लिए आँकड़ों हेतु दिनों की कुल संख्या, n (S) = 30

अन्तराल (0.12-0.16) में सल्फर डाइऑक्साइड की बारम्बारता n (E) = 2

प्रश्न 13. आठवीं कक्षा के 30 विद्यार्थियों के रक्त समूह ये हैं

A, B, O, O, AB, O, A, O, B, A, O, B, A, O, O, A, AB, O, A, A, O, O, AB, B, A, O, B, A, B, O

आपसे एक कक्षा के 30 विद्यार्थियों को रक्त समूह से सम्बन्धित बारम्बारता बंटन सारणी बनाने के लिए कहा गया था। इस सारणी की सहायता से इस कक्षा से यादृच्छया चुने गए एक विद्यार्थी का रक्त समूह AB होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए ।

Solution

आठवीं कक्षा में विद्यार्थियों की कुल संख्या,

n (S) = 30

रक्त समूह AB रखने वाले विद्यार्थियों की संख्या,

n (E) = 3

कक्षा से यादृच्छया चुने गए विद्यार्थी का रक्त समूह AB होने की प्रायिकता