पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ganit NCERT Solutions in Hindi Medium Exercise 13.2

प्रश्न 1. ऊँचाई 14 सेमी वाले एक लम्बवृत्तीय बेलन का वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल 88 सेमी² है। बेलन के आधार का व्यास ज्ञात कीजिए ।

Solution

हम रखते हैं, ऊँचाई = 14 सेमी

एक लम्बवृत्तीय बेलन का वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल = 88 सेमी²

2𝜋rh = 88 सेमी²

∴ व्यास = 2 × त्रिज्या = 2×1 = 2 सेमी

प्रश्न 2. धातु की एक चादर से 1 मी ऊँची और 140 सेमी व्यास के आधार वाली एक बन्द बेलनाकार टंकी बनाई जानी है। इस कार्य के लिए कितने वर्ग मीटर चादर की आवश्यकता होगी?

Solution

माना बेलनाकार टंकी की त्रिज्या तथा ऊँचाई क्रमशः r तथा h है।

दिया है, r = 140/2 = 70 सेमी = 0.70 मी

तथा h = 1 मी

एक बन्द बेलनाकार टंकी को बनाने के लिए आवश्यक धातु की चादर

=  सम्पूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल

अतः एक बन्द बेलनाकार टंकी को बनाने के लिए आवश्यक धातु की चादर = 7.48 मी²

प्रश्न 3. धातु का एक पाइप 77 सेमी लम्बा है। इसके एक अनुप्रस्थ काट का आन्तरिक व्यास 4 सेमी है और बाहरी व्यास 4.4 सेमी है । (देखिए आकृति 13.11) । ज्ञात कीजिए

(i) आन्तरिक वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल।

(ii) बाहरी वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल।

(iii) कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल।

Solution

दिया है, h = 77 सेमी

बाहरी व्यास (d₁) = 4.4 सेमी

तथा आन्तरिक व्यास (d₂) = 4 सेमी

∴ बाहरी त्रिज्या (r₁) = 2.2 सेमी

आन्तरिक त्रिज्या (r₂) = 2 सेमी

प्रश्न 4. एक रोलर (roller) का व्यास 84 सेमी है और लम्बाई 120 सेमी है। एक खेल के मैदान को एक बार समतल करने के लिए 500 चक्कर लगाने पड़ते हैं। खेल के मैदान का मी² में क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए ।

Solution

दिया है, एक रोलर का व्यास = 84 सेमी

r = रोलर की त्रिज्या = 42 सेमी

h = 120 सेमी

पूरा किया गया 1 चक्कर = रोलर का वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल

खेल के मैदान का क्षेत्रफल = तय किए गए 500 चक्कर

= 500 × 3.168 मी²

= 1584 मी²

प्रश्न 5. किसी बेलनाकार स्तम्भ का व्यास 50 सेमी है और ऊँचाई 3.5 मी है। ₹ 12.50 प्रति मी² की दर से इस स्तम्भ के वक्रपृष्ठ पर पेन्ट कराने का व्यय ज्ञात कीजिए ।

Solution

दिया है, व्यास = 50 सेमी

5.5 मी² पेन्ट का व्यय = ₹ 12.50 × 5.5 = ₹ 68.75

प्रश्न 6. एक लम्बवृत्तीय बेलन का वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल 4.4 मी² है। यदि बेलन के आधार की त्रिज्या 0.7 मी है, तो उसकी ऊँचाई ज्ञात कीजिए ।

Solution

दिया है, एक लम्बवृत्तीय बेलन का वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल = 4.4 मी²

अतः लम्बवृत्तीय बेलन की ऊँचाई 1 मी है|

प्रश्न 7. किसी वृत्ताकार कुएँ का आन्तरिक व्यास 3.5 मी है और यह 10 मी गहरा है। ज्ञात कीजिए

(i) आन्तरिक वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल ।

(ii) ₹40 प्रति मी² की दर से इसके वक्रपृष्ठ पर प्लास्टर कराने का व्यय ।

Solution

दिया है, आन्तरिक व्यास = 3.5 मी

∴ आन्तरिक त्रिज्या = 3.5/2 मी

तथा h = 10 मी

(ii) प्रति मी² प्लास्टर कराने का व्यय = ₹40

110 मी² प्लास्टर कराने का व्यय = ₹40 × 110 = ₹ 4400

प्रश्न 8. गर्म पानी द्वारा गर्म रखने वाले एक संयंत्र में 28 मी लम्बाई और 5 सेमी व्यास वाला एक बेलनाकार पाइप है। इस संयंत्र में गर्मी देने वाला कुल कितना पृष्ठ है?

Solution

दिया है, h = 28 मी

व्यास = 5 सेमी

संयंत्र में गर्मी देने वाला कुल पृष्ठ = बेलनाकार पाइप का पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 2𝜋rh

प्रश्न 9. ज्ञात कीजिए

(i) एक बेलनाकार पेट्रोल की बन्द टंकी का पार्श्व या वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल, जिसका व्यास 4.2 मी है और ऊँचाई 4.5 मी है।

(ii) इस टंकी को बनाने में कुल कितना इस्पात (steel) लगा होगा, यदि कुल इस्पात का 1/12 भाग बनाने में नष्ट हो गया है ?

Solution

(i) दिया है, व्यास = 4.2 मी

∴ त्रिज्या, r = 4.2/2 = 2.1 मी

तथा h = 4.5 मी

एक बेलनाकार पेट्रोल की बन्द टंकी का पार्श्व या वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल

= 2𝜋rh

(ii) अब, सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल + 2𝜋r²

चूँकि कुल इस्पात का 1/12 भाग बनाने में नष्ट हो गया है, इसलिए टंकी बनाने के लिए वास्तव में लगने वाले इस्पात का क्षेत्रफल

∴ वास्तव में लगने वाला इस्पात = 95.04 मी²

प्रश्न 10. आकृति 13.12 में, आप एक लैम्पशैड का फ्रेम देख रहे हैं। इसे एक सजावटी कपड़े से ढका जाना है। इस फ्रेम के आधार का व्यास 20 सेमी है और ऊँचाई 30 सेमी है। फ्रेम के ऊपर और नीचे मोड़ने के लिए दोनों ओर 2.5 सेमी अतिरिक्त कपड़ा भी छोड़ा जाना है। ज्ञात कीजिए कि लैम्पशैड को ढकने के लिए कुल कितने कपड़े की आवश्यकता होगी?

Solution

दिया है, r = 20/2 सेमी = 10 सेमी

h = 30 सेमी

चूँकि फ्रेम के ऊपर और नीचे मोड़ने के लिए दोनों ओर 2.5 सेमी अतिरिक्त कपड़ा भी छोड़ा जाना है। अतः फ्रेम की कुल ऊँचाई,

h₁ = 30 + 2.5 + 2.5

⇒ h₁ = 35 सेमी

∴ लैम्पशैड को ढकने के लिए अभीष्ट कपड़ा = इसका वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल

प्रश्न 11. किसी विद्यालय के विद्यार्थियों से एक आधार वाले बेलनाकार कलमदानों को गत्ते से बनाने और सजाने की प्रतियोगिता में भाग लेने के लिए कहा गया। प्रत्येक कलमदान की 3 सेमी त्रिज्या और 10.5 सेमी ऊँचाई का होना था । विद्यालय को इसके लिए प्रतिभागियों को गत्ता देना था। यदि इसमें 35 प्रतिभागी थे, तो विद्यालय को कितना गत्ता खरीदना पड़ा होगा ?

Solution

प्रत्येक प्रतिभागी के लिए आवश्यक गत्ता = आधार का क्षेत्रफल + एक कलमदानी का वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल

= 𝜋r² + 2𝜋rh (दिया है, h = 10.5 सेमी, r = 13 सेमी)

= 226.28 सेमी²

35 प्रतिभागियों के लिए आवश्यक गत्ता = 35 × 226.28 =7920 सेमी²

अतः विद्यालय को 7920 सेमी² गत्ता प्रतियोगिता के लिए खरीदना आवश्यक है।