त्रिभुज Ganit NCERT Solutions in Hindi Medium Exercise 7.5

प्रश्न 1. ABC एक त्रिभुज है। इसके अभ्यन्तर में एक ऐसा बिन्दु ज्ञात कीजिए, जो ΔABC के तीनों शीर्षों से समदूरस्थ है।

Solution

माना ΔABC की भुजाओं BC तथा AC के लम्ब समद्विभाजक क्रमश: OM तथा ON हैं।

अत: रेखाखण्ड BC के दो अन्तः बिन्दुओं B तथा C से O समदूरस्थ इस प्रकार है कि जैसे BC के लम्ब समद्विभाजक पर 0 स्थित है। इसी प्रकार, O बिन्दु C तथा A से समदूरस्थ है। अत: O, ΔABC का एक लम्बकेन्द्र है।

प्रश्न 2. किसी त्रिभुज के अभ्यन्तर में एक ऐसा बिन्दु ज्ञात कीजिए जो त्रिभुज की सभी भुजाओं से समदूरस्थ है।

Solution

माना BN तथा CM क्रमश: ∠ABC तथा ∠ACB के समद्विभाजक हैं जो भुजाओं AC तथा AB पर क्रमशः N तथा M बिन्दु पर प्रतिच्छेद करते हैं।

चूँकि ∠ABC के समद्विभाजक BN पर O स्थित है, अतः O, BA तथा BC से समदूरस्थ होगा। पुन: ∠ACB के समद्विभाजक CM पर O स्थित है। अत: O, CA तथा BC से समदूरस्थ होगा। इस प्रकार, 0 भुजाओं AB, BC तथा CA से समदूरस्थ होगा।

अत: O, ΔABC का परिकेन्द्र है।

प्रश्न 3. एक बड़े पार्क में, लोग तीन बिन्दुओं (स्थानों) पर केन्द्रित हैं (देखिए आकृति)

A : जहाँ बच्चों के लिए फिसल पट्टी और झूले हैं।

B: जिसके पास मानव निर्मित एक झील है।

C : जो एक बड़े पार्किंग स्थल और बाहर निकलने के रास्ते के निकट है।

एक आइसक्रीम का स्टॉल कहाँ लगाना चाहिए ताकि वहाँ लोगों की अधिकतम संख्या पहुँच सके ?

[संकेत- स्टॉल को A, B और C से समदूरस्थ होना चाहिए।]

Solution

आइसक्रीम का स्टॉल बिन्दुओं A, B तथा C से समदूरस्थ होना चाहिए जिसके लिए AB, BC तथा CA के लम्ब समद्विभाजक का प्रतिच्छेद बिन्दु स्थिर होना चाहिए।

अतः O अभीष्ट बिन्दु है जो A, B तथा C से समदूरस्थ है।

प्रश्न 4. षट्भुजीय और तीर के आकार की रंगोलियों [ देखिए आकृति (i) और (ii)] को 1 सेमी भुजा वाले समबाहु त्रिभुजों से भरकर पूरा कीजिए । प्रत्येक स्थिति में त्रिभुजों की संख्या गिनिए, किसमें अधिक त्रिभुज हैं?

Solution

हम सर्वप्रथम षट्भुज को 5 सेमी भुजा के 6 समबाहु त्रिभुज में विभाजित करते हैं।

उपरोक्त आकृति में से हम 6 समबाहु त्रिभुजों में से एक त्रिभुज लेते हैं तथा निम्न आकृति की भाँति इस त्रिभुज में 1 सेमी भुजा के अनेक समबाहु त्रिभुज बनाते हैं।

भुजा 1 सेमी के समबाहु त्रिभुजों की संख्या = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

अतः षट्भुज में त्रिभुजों की कुल संख्या = 6 × 25 = 150

आकृति (ii) में, त्रिभुजों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम इसी प्रक्रिया को पुनः अपनाते हैं।

अतः आकृति (ii) में त्रिभुजों की संख्या = 12 × 25 = 300

अतः आकृति (ii) अधिक त्रिभुजों को रखती है।