NCERT Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरणों का युग्म प्रश्नावली 3.7 Hindi Medium

Class 10 Maths Chapter 3 Pairs of Linear Equations in Two Variables Exercise 3.7 NCERT Solutions in Hindi Medium

दो चरों वाले रैखिक समीकरणों का युग्म Ganit NCERT Solutions in Hindi Medium Exercise 3.7

प्रश्न 1. दो मित्रों अनी और बीजू की आयु में 3 वर्ष का अन्तर है| अणि के पिता धरम की आयु अणि की आयु की दुगुनी और बीजू की आयु अपनी बहन कैथी की आयु की दुगुनी है| कैथी और धरम की आयु का अन्तर 300 वर्ष है| अनी और बीजू की आयु ज्ञात कीजिए|

Solution

माना अनी और बीजू की आयु x वर्ष और y वर्ष है |
प्रश्नानुसार,
अनी और बीजू की आयु में अंतर = 3
x - y = 3 ...(i)
अनी के पिता धरम की आयु = 2×अनी की आयु
= 2x

x का मान समी (i) में रखने पर,
19 - y = 3
⇒ -y = 3 - 19
⇒ -y = -16
⇒ y  = 16
अतः अनी की आयु = 19 वर्ष तथा बीजू की आयु = 16 वर्ष

प्रश्न 2. एक मित्र दूसरे से कहता है कि ‘यदि मुझे एक सौ दे दो, तो मैं आपसे दो गुना धनी बन जाऊँगा’ दूसरा उत्तर देता है ‘यदि आप मुझे दस दे दें, तो मैं आपसे छः गुना धनी बन जाऊँगा|’ बताइए की उनकी क्रमशः कल्या संपत्तिया हैं ?

Solution

माना दोनों मित्रों की सम्पति क्रमशः ₹x तथा ₹y है|

प्रश्नानुसार,
x + 100 = 2(y - 100)
⇒ x + 100 = 2y - 200
⇒ x - 2y = -200 - 100
⇒ x - 2y = -300 ...(i)
तथा 6(x - 10) = y + 10
⇒ 6x - 60 = y + 10
⇒ 6x - y = 60 + 10
⇒ 6x - y = 70 ...(ii)
समी (ii) में से गुना करके समी (i) में से घटाने पर,

अतः एक मित्र की सम्पति (पूंजी) = ₹140
तथा दूसरे मित्र की पूंजी = ₹170

प्रश्न 3. एक रेलगाड़ी कुछ दूरी समान चाल से तय करती है | यदि रेलगाड़ी 10 किमी/घंटा अधिक तेज चलती होती, तो उसे नियत समय से 2 घंटे कम लगते और यदि रेलगाड़ी 10 किमी/घंटा धीमी चलती होती, तो उसे नियत समय से 3 घंटे अधिक लगते रेलगाड़ी द्वारा तय की गई दुरी ज्ञात कीजिए|

Solution

माना,
रेलगाड़ी की वास्तविक चाल = x किमी/घंटा
तथा, रेलगाड़ी द्वारा लिया गया वास्तविक समय = y घंटा

x का मान समी (i) में रखने पर,
50 - 5y = -10
⇒ -5y = -10 - 50
⇒ -5y = -60
∴ y = 12
∴ रेलगाड़ी द्वारा तय की गयी दुरी = 50×12 = 600 किमी

प्रश्न 4. एक कक्षा के विधार्थियों को पंक्तियों में खड़ा होना है| यदि पंक्ति में 3 विधार्थी अधिक होते, तो पंक्ति कम होती| यदि पंक्ति में 3 विधार्थी कम होते, तो 2 पंक्तियाँ अधिक बनतीं| कक्षा में विधार्थियों की संख्या ज्ञात कीजिए|

Solution

माना कक्षा में विद्यार्थी की संख्या = x
तथा, पंक्तियों की संख्या = y

अतः कक्षा के विद्यार्थियों की संख्या = 36×4 = 144

प्रश्न 5. एक त्रिभुज ∆ABC में, ∠C = 3 तथा ∠B = 2(∠A + ∠B) है| त्रिभुज के तीनों कोण ज्ञात कीजिए|

Solution

दिया है,
∠C = 3 तथा ∠B = 2(∠A + ∠B) ...(i)

∵ त्रिभुज के तीनों कोणों का योग = 180°
∴ ∠A + ∠B + ∠C = 180°  [समी (i)  से ∠C = 2( ∠A + ∠B)]
⇒ ∠A + ∠B + 2(∠A + ∠B) = 180°
⇒ ∠A + ∠B + 2∠A + 2∠B = 180°
⇒ 3∠A + 3∠B = 180° ...(ii)
⇒ ∠A + ∠B = 60° [दोनों पक्षों में 3 से भाग करने पर]
पुनः ∠A + ∠B + ∠C = 180°
⇒ ∠A + ∠B + ∠B = 180° [समी (i) से ∠C = 3∠B]
⇒ ∠A + 4∠B = 180° ...(iii)

समी (iii) में से समी (ii) को घटाने पर,

∠B = 40° समी (ii) में रखने पर,
∠A + 40° = 60°
∠A = 60° - 40° = 20° तथा ∠C = 3∠B = 3×40° = 120°
अतः ∠A = 20°, ∠B = 40° तथा ∠C = 120°

प्रश्न 6. समीकरणों 5x – y = 5 और 3x – y = 3 के ग्राफ खींचिए| इन रेखाओं और y -अक्ष से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए| इस प्रकार बने त्रिभुज के क्षेत्रफल का परिकलन कीजिए|

Solution

दिया गया है,
5x - y = 5 ...(i)
3x - y = 3 ...(ii)
समी (i) से, 5x - y = 5
⇒ -y = 5 - 5x
∴ y = 5x - 5

बिंदुओं (1, 0), (0, -5) तथा (2, 5) को आलेखित करके रेखा AB प्राप्त हुयी तथा बिंदुओं (1, 0), (0, -3) तथा (2, 3) तथा को आलेखित करके रेखा प्राप्त हुई |

अभीष्ट ∆BCD है जिसके शीर्ष B(0, -5), C(1, 0) तथा D(0, -3) हैं |

प्रश्न 7. निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों को हल कीजिए :

(i) px + qy = p – q
qx – pq = p + q

(ii) ax + by = c
bx + ay = 1 + c

(iii) x/a - y/b = 0
ax + by = a² + b²

(iv) (a – b) x + (a + b) y = a² – 2ab – b²
(a + b) (x + y ) = a² + b²

(v) 152x – 378y = -74
-378x + 152y = -604

Solution

(i) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म,
px + qy = p – q ...(i)
qx – pq = p + q ...(ii)
समी (i) को p से तथा समी (ii) को q से गुणा करके जोड़ने पर,

अतः दिए गए रैखिक समीकरण युग्म का हल x = 1 तथा y = -1 है |

(ii) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म,

ax + by = c ...(i)
bx + ay = 1 + c ...(ii)

समी (i) को pa से तथा समी (ii) को b से गुणा करके घटाने पर,

(iii) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म,

x का मान समी (i) में रखने पर,
ab - ay = 0
⇒ -ay = -ab
∴ y = b
अतः दिए गए रैखिक युग्म का हल x = a तथा y = b है |

(iv) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म,
(a – b)x + (a + b)y = a² – 2ab – b² ...(i)
तथा, (a + b) (x + y ) = a² + b² ...(ii)
⇒ (a + b)x + (a + b)y = a² + b² ...(ii)

 समी (i) में से समी (ii) को घटाने पर,

(v) दिया गया रैखिक समीकरण युग्म,
152x – 378y = -74 ...(i)
-378x + 152y = -604 ...(ii)
समी (i) और (ii) को जोड़ने पर,
-226x - 226y = -678
⇒ x + y = 3 ...(iii)
समी (i) में से समी (ii) को घटाने पर,
530x - 530y = 530
⇒ x - y = 1
समी (iii) और (iv) को जोड़ने पर,

⇒ x = 2

x का मान समी (iii) में रखने पर,

2 + y  = 3
⇒ y = 3 - 2
⇒ y  = 1

अतः दिए गए रैखिक समीकरण युग्म का हल x = 2 तथा y = 1 है |